Каков объем тела, полученного при вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны, если диагонали прямоугольника

Morzh

39

Для начала, давайте разберемся в том, что означает "вращение прямоугольника вокруг его меньшей стороны". Когда мы вращаем прямоугольник, мы представляем себе, что он вращается вокруг одной из своих сторон, и создается тело, известное как вращательное тело или вращаемый объем.

Для решения данной задачи, нам дано, что диагонали прямоугольника равны \(m\), и острый угол между ними обозначим как \(\theta\).

Мы можем представить себе прямоугольник с его двумя диагоналями, причем одна из них проходит через его центр. Затем, когда мы вращаем прямоугольник вокруг меньшей стороны, эта диагональ становится осью вращения. В результате образуется тело в форме вращательной фигуры.

Для расчета объема этого вращательного тела, мы можем использовать формулу объема вращательного тела, которая зависит от функции площади сечения вращения. В данном случае сечение вращения - это круг с радиусом, равным длине меньшей стороны прямоугольника.

Для определения площади сечения вращения, мы можем использовать формулу площади круга \(\pi r^2\), где \(\pi\) - это значение числа пи (примерное значение 3,14), а \(r\) - это радиус круга, равный длине меньшей стороны прямоугольника.

Итак, площадь сечения вращения будет равна \(\pi r^2\), где \(r\) - это половина длины меньшей стороны прямоугольника.

Так как меньшая сторона прямоугольника равна половине длины диагонали, то \(r = \frac{m}{2}\).

Теперь мы можем вычислить объем вращательного тела. Формула объема вращательного тела выглядит следующим образом:

\[V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx\]

Где \(a\) и \(b\) - это границы интегрирования, а \(f(x)\) - это функция, описывающая сечение вращения.

В нашем случае \(a\) и \(b\) будут равны \(0\) и \(m\) соответственно, так как мы вращаем прямоугольник вокруг меньшей стороны длиной \(m\).

Таким образом, для нашего случая, формула для объема вращательного тела будет выглядеть следующим образом:

\[V = \pi \int_{0}^{m} (f(x))^2 dx\]

Теперь нам нужно определить функцию \(f(x)\), которая описывает сечение вращения. В нашем случае, сечение имеет форму круга радиусом \(r\), поэтому \(f(x) = r\).

Подставляя значение \(r = \frac{m}{2}\) в формулу, мы получим:

\[V = \pi \int_{0}^{m} \left(\frac{m}{2}\right)^2 dx\]

Выполняя интегрирование, получим:

\[V = \pi \int_{0}^{m} \frac{m^2}{4} dx\]

\[V = \frac{\pi m^2}{4} \int_{0}^{m} dx\]

\[V = \frac{\pi m^2}{4} \cdot x \bigg|_{0}^{m}\]

\[V = \frac{\pi m^2}{4} \cdot m\]

\[V = \frac{\pi m^3}{4}\]

Поэтому объем тела, полученного при вращении прямоугольника вокруг его меньшей стороны, равен \(\frac{\pi m^3}{4}\).

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.