Найдите площадь параллелограмма, если его стороны имеют соотношение 6:8, а радиус окружности, на которой лежат

Ryzhik

46

Для нахождения площади параллелограмма, зная соотношение его сторон, можно воспользоваться следующими шагами.

1. Пусть длина более короткой стороны параллелограмма будет 6у, а длина более длинной стороны будет 8у, где у - коэффициент пропорциональности. Таким образом, длины сторон параллелограмма будут 6у и 8у.

2. Радиус окружности, на которой лежат вершины параллелограмма, равен \(R\).

3. Построим диагонали параллелограмма. Они делят параллелограмм на 4 одинаковых треугольника. Длина каждой диагонали равна диаметру окружности, то есть 2R.

4. По свойству треугольника, мы можем найти высоту такого треугольника, например, с основанием 6у и гипотенузой 2R. Воспользуемся теоремой Пифагора: \((6u)^2 + h^2 = (2R)^2\), где \(h\) - высота треугольника.

5. Теперь мы можем выразить высоту треугольника \(h\) через \(u\) и \(R\). Решив это уравнение, получим \(h = \sqrt{(2R)^2 - (6u)^2}\).

6. Поскольку площадь треугольника равна \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\), то для каждого из 4 треугольников площадь будет равна: \(\frac{1}{2} \times 6u \times \sqrt{(2R)^2 - (6u)^2}\).

7. Общая площадь параллелограмма получится путем умножения площади одного треугольника на 4: \(4 \times \left(\frac{1}{2} \times 6u \times \sqrt{(2R)^2 - (6u)^2}\right)\).

Таким образом, площадь параллелограмма, заданного соотношением сторон 6:8 и радиусом окружности \(R\), будет равна \(12u \cdot \sqrt{4R^2 - 9u^2}\).