Каков объем тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, если в системе координат заданы точки

Петр_8106

47

Чтобы найти объем тела, полученного вращением треугольника АВС вокруг оси ординат, нам понадобится использовать метод цилиндров. Этот метод основан на разбиении трехмерной фигуры на бесконечно малые цилиндрические слои.

Итак, давайте начнем с построения треугольника АВС в координатной плоскости. У нас есть точки А(5;2,6), В(8;2,6) и С(5;11,6). Мы можем провести прямую линию от точки A до точки B и от точки A до точки C, чтобы получить треугольник. Вот как это выглядит:

\[AB\] - горизонтальная сторона треугольника, длина которой равна 3 (8-5).

\[AC\] - вертикальная сторона треугольника, длина которой равна 9 (11,6-2,6).

Теперь мы готовы приступить к вычислению объема тела.

Шаг 1: Разбиение фигуры на бесконечно малые цилиндрические слои

Мы разобъем треугольник на бесконечно малые вертикальные цилиндрические слои, параллельные оси ординат. Каждый слой будет иметь радиус, равный расстоянию от оси ординат до соответствующей точки треугольника на горизонтальной оси.

Шаг 2: Определение радиуса цилиндрического слоя

Радиус цилиндрического слоя для каждой точки треугольника можно найти, используя геометрическую формулу расстояния между двумя точками. Для данной задачи мы можем использовать горизонтальное расстояние как радиус цилиндрического слоя для каждой точки треугольника.

Радиусы цилиндрических слоев для точек А(5;2,6) и В(8;2,6) равны 5 и 8 соответственно.

Шаг 3: Вычисление объема каждого цилиндрического слоя

Объем каждого цилиндрического слоя можно найти, используя формулу для объема цилиндра: \(\pi \times \text{радиус}^2 \times \text{высота}\).

Высота каждого цилиндрического слоя будет равна горизонтальному расстоянию между соответствующей точкой треугольника и осью ординат.

Таким образом, объем каждого цилиндрического слоя будет равен \(\pi \times \text{радиус}^2 \times \text{высота}\).

Шаг 4: Суммирование объемов всех цилиндрических слоев

Для того чтобы найти общий объем тела, полученного вращением треугольника вокруг оси ординат, мы должны просуммировать объемы всех цилиндрических слоев. Формула для суммирования объемов цилиндрических слоев представлена ниже:

\[V = \int_{a}^{b} \pi \cdot r(x)^2 \cdot dx\]

где \(r(x)\) - функция, задающая радиус цилиндрического слоя в зависимости от координаты x, \(dx\) - бесконечно малый элемент длины треугольника, а интеграл берется от начальной координаты \(a\) до конечной координаты \(b\).

В нашем случае, мы будем использовать координату \(x\) как горизонтальное расстояние от нашей оси ординат.

Таким образом, общий объем тела можно вычислить следующим образом:

\[V = \int_{5}^{8} \pi \cdot r(x)^2 \cdot dx\]

\[V = \int_{5}^{8} \pi \cdot x^2 \cdot dx\]

Применяя формулу для интеграла, мы можем вычислить этот интеграл, чтобы получить окончательное значение объема.