Каково разложение вектора a{-2; -1; 3} по координатным векторам

Шарик

23

Разложение вектора \( \mathbf{a} \) по координатным векторам происходит путем представления вектора \( \mathbf{a} \) как суммы его проекций на оси координат. Данный подход позволяет разбить вектор на независимые составляющие вдоль каждой из осей.

Основной принцип заключается в том, что вектор \( \mathbf{a} \) может быть представлен как:

\[ \mathbf{a} = a_{x} \mathbf{i} + a_{y} \mathbf{j} + a_{z} \mathbf{k} \]

где \( a_{x} \), \( a_{y} \) и \( a_{z} \) являются проекциями вектора \( \mathbf{a} \) на оси \( x \), \( y \) и \( z \) соответственно, а \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) и \( \mathbf{k} \) - это координатные векторы.

Для определения проекции вектора \( \mathbf{a} \) на ось \( x \) мы используем формулу:

\[ a_{x} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{i}}{\mathbf{i} \cdot \mathbf{i}} \]

где \( \cdot \) - обозначает скалярное произведение векторов.

Теперь рассчитаем проекции вектора \( \mathbf{a} \) на каждую из осей:

1. Проекция на ось \( x \):
\[ a_{x} = \frac{\begin{pmatrix}-2; -1; 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1; 0; 0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1; 0; 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1; 0; 0\end{pmatrix}} = \frac{-2}{1} = -2 \]

2. Проекция на ось \( y \):
\[ a_{y} = \frac{\begin{pmatrix}-2; -1; 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0; 1; 0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0; 1; 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0; 1; 0\end{pmatrix}} = \frac{-1}{1} = -1 \]

3. Проекция на ось \( z \):
\[ a_{z} = \frac{\begin{pmatrix}-2; -1; 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0; 0; 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0; 0; 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0; 0; 1\end{pmatrix}} = \frac{3}{1} = 3 \]

Таким образом, разложение вектора \( \mathbf{a} \) по координатным векторам составляет:

\[ \mathbf{a} = -2 \mathbf{i} -1 \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \]