Каков объем треугольной пирамиды SABC, если ее высота, опущенная на середину стороны AB, равна √30, а сторона

Витальевна

62

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для объема пирамиды и свойств правильных треугольников. Начнем с формулы для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

У нас есть треугольная пирамида с высотой, опущенной на середину стороны \( AB \), равной \( \sqrt{30} \). Чтобы найти площадь основания, нам понадобится значение стороны треугольника \( ABC \).

Строна треугольника \( ABC \) является правильным треугольником, что означает, что все его стороны равны. Обозначим эту сторону как \( x \).

Для нахождения площади основания пирамиды, нам нужно найти площадь треугольника \( ABC \). Для правильного треугольника площадь можно найти по следующей формуле:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Подставим известные значения в формулу:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2 \]

Теперь, зная площадь основания пирамиды, мы можем найти объем пирамиды. Подставим известные значения в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{треугольника}} \cdot h \]

Подставим найденные значения:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2 \right) \cdot \sqrt{30} \]

Теперь у нас есть выражение для объема пирамиды в зависимости от длины стороны треугольника \( x \). Чтобы получить итоговый ответ, мы должны найти значение \( x \).

Для этого обратимся к свойству треугольника, что высота, опущенная на середину стороны, делит ее пополам. Значит, \( x = 2 \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \sqrt{10} \).

Теперь мы можем подставить значение \( x \) в наше выражение для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2 \cdot \sqrt{10})^2 \right) \cdot \sqrt{30} \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 \cdot 10 \cdot \sqrt{30} \cdot \sqrt{30} \]

\[ V = \frac{\sqrt{3} \cdot 10 \cdot 30}{3 \cdot 4} \]

\[ V = \frac{\sqrt{3} \cdot 10 \cdot 10}{2} \]

\[ V = 50 \sqrt{3} \]

Итак, объем треугольной пирамиды \( SABC \) равен \( 50 \sqrt{3} \) единиц объема.