1. / 10 Если наибольший угол между образующими конуса составляет 60°, то какому значению равен диаметр основания, если

Nikolay

1

Задача 1. Если наибольший угол между образующими конуса составляет 60°, а длина образующей равна 3 см, тогда можно вычислить радиус основания конуса. Угол между образующей и плоскостью основания конуса дает нам прямоугольный треугольник, где один из углов равен 60°. Так как образующая равна 3 см, мы можем применить тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти высоту треугольника, а затем применить теорему Пифагора, чтобы найти радиус основания. Давайте начнем с высоты.

Пусть \(h\) - высота треугольника.
Мы знаем, что \(\sin(60°) = \frac{h}{3}\).
Подставим значение синуса 60°:
\(\frac{1}{2} = \frac{h}{3}\).
Перемножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
\(3 \cdot \frac{1}{2} = h\).
Таким образом, \(h = \frac{3}{2}\) см.

Затем найдем радиус основания конуса, используя теорему Пифагора. Пусть \(r\) - радиус основания.
Мы знаем, что \(r^2 + (\frac{3}{2})^2 = (\frac{d}{2})^2\), где \(d\) - диаметр основания.
Поэтому, чтобы найти \(d\), нам нужно найти значение \(2r\).

Решим уравнение:
\(r^2 + (\frac{3}{2})^2 = (\frac{d}{2})^2\).
\(r^2 + \frac{9}{4} = \frac{d^2}{4}\).
Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
\(4r^2 + 9 = d^2\).
Теперь давайте найдем значение \(2r\), подставив \(r = \sqrt{\frac{d^2 - 9}{4}}\):
\(2r = 2\sqrt{\frac{d^2 - 9}{4}}\).

Ответ:
Диаметр основания конуса, если длина образующей составляет 3 см и наибольший угол между образующими конуса равен 60°, равен \(2\sqrt{\frac{d^2 - 9}{4}}\) см.

Задача 2. Чтобы найти площадь боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований 3 см и 4 см и образующей длиной 5 см, мы можем использовать формулу для площади боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения суммы радиусов оснований и образующей.
Используем формулу: \(S = \frac{1}{2} \cdot (r_1 + r_2) \cdot l\), где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы оснований, \(l\) - образующая.

Подставим известные значения:
\(S = \frac{1}{2} \cdot (3 + 4) \cdot 5\).
\(S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5\).
\(S = \frac{35}{2}\).

Ответ:
Площадь боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований 3 см и 4 см, образующей 5 см, равна \(\frac{35}{2}\) см².

Задача 3. Чтобы найти площадь боковой поверхности усеченного конуса с площадью развертки 150π см² и радиусами оснований 4 см и 6 см, мы должны сначала найти образующую, а затем использовать формулу для площади боковой поверхности конуса.

Для начала найдем образующую.
Площадь развертки усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности и оснований.
Используем известные значения:
\(150\pi = S_{бок} + S_{осн}\).
\(150\pi = S_{бок} + \pi r_1^2 + \pi r_2^2\).
Заметим, что \(S_{бок} = S - \pi r_1^2 - \pi r_2^2\).
Подставим значения:
\(150\pi = (S - \pi r_1^2 - \pi r_2^2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2\).
\(150\pi = S + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 - \pi r_1^2 - \pi r_2^2\).
Сократим повторяющиеся слагаемые:
\(150\pi = S\).
Таким образом, площадь боковой поверхности равна площади развертки, то есть \(S_{бок} = 150\pi\) см².

Теперь найдем образующую. Используем формулу \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (r_1 + r_2) \cdot l\) и подставим значения:
\(150\pi = \frac{1}{2} \cdot (4 + 6) \cdot l\).
\(150\pi = 5l\).
\(l = \frac{150\pi}{5}\).
\(l = 30\pi\) см.

Теперь, используя найденное значение образующей, мы можем найти площадь боковой поверхности.
Подставим значения в формулу: \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4 + 6) \cdot 30\pi\).
\(S_{бок} = 5 \cdot 30\pi\).
\(S_{бок} = 150\pi\) см².

Ответ:
Площадь боковой поверхности усеченного конуса с площадью развертки 150π см² и радиусами оснований 4 см и 6 см равна 150π см².