Каков объем усеченного конуса с образующей равной 10 см, наклоненного к плоскости основания под углом 60 градусов

Ястребок_4086

60

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о геометрии конусов.

Дано, что образующая \( l = 10 \) см и угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 60 \) градусов. Пусть \( d \) - диагональ осевого сечения, которая разделяет угол \( \alpha \) пополам.

Чтобы найти объем усеченного конуса, нужно знать радиусы оснований. Обозначим радиусы как \( R_1 \) для большего основания и \( R_2 \) для меньшего основания.

Используем теорему тангенсов в треугольнике. У нас есть прямоугольный треугольник, так как диагональ осевого сечения \( d \) разделяет угол \( \alpha \) пополам. Мы знаем длину противоположенного катета \( R_1 - R_2 \) и длину прилежащего катета \( \frac{l}{2} \). Тогда мы можем написать:

\[ \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R_1 - R_2}{\frac{l}{2}} \]

Подставляя значения \( l = 10 \) см и \( \alpha = 60 \) градусов:

\[ \tan \left(30^\circ\right) = \frac{R_1 - R_2}{5} \]

Так как \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), получаем:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R_1 - R_2}{5} \]

Теперь найдем радиус основания \( R_1 \). У нас есть прямоугольный треугольник, в котором известна длина гипотенузы \( R_1 \) и угол между гипотенузой и высотой \( \alpha = 60 \) градусов. Тогда мы можем написать:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{R_2}{R_1} \]

Так как \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем:

\[ \frac{1}{2} = \frac{R_2}{R_1} \]

Отсюда можно выразить \( R_2 \):

\[ R_2 = \frac{R_1}{2} \]

Подставив это значение в предыдущее уравнение:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R_1 - \frac{R_1}{2}}{5} \]

Упростим выражение:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{R_1}{2}}{5} \]

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R_1}{10} \]

\[ R_1 = \frac{10}{\sqrt{3}} \]

Теперь мы знаем радиус большего основания \( R_1 \). Чтобы найти радиус меньшего основания \( R_2 \), мы можем использовать предыдущее уравнение:

\[ R_2 = \frac{R_1}{2} = \frac{10}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \]

Теперь у нас есть радиусы оснований. Чтобы найти объем усеченного конуса, мы можем использовать формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \pi (R_1^2 + R_2^2 + R_1 \cdot R_2) \]

Подставим значения:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2 + \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{5}{\sqrt{3}}\right) \]

Решение этого уравнения дает нам значение объема усеченного конуса.

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{100}{3} + \frac{25}{3} + \frac{50}{3}\right) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{175}{3} \]

\[ V \approx 63.23 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем усеченного конуса с заданными параметрами равен примерно 63,23 кубических сантиметров.