Каков объем усеченного конуса с высотой 5 см и диагональю осевого сечения 13 см, если отношение площадей его оснований

Артём_4504

5

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать несколько геометрических формул и применить их пошагово.

Шаг 1: Определение площадей оснований.
У нас дано, что отношение площадей оснований усеченного конуса равно 1:4. Обозначим площадь меньшего основания через \(S_1\) , а площадь большего основания через \(S_2\).

Так как отношение площадей равно 1:4, можно записать следующее уравнение:
\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4}\)

Шаг 2: Нахождение радиусов оснований.
Обозначим радиус меньшего основания через \(r_1\), а радиус большего основания через \(r_2\).

У нас есть формула для площади основания конуса:
\(S = \pi \cdot r^2\)

Теперь применим эту формулу к нашим основаниям:

\(S_1 = \pi \cdot r_1^2\)

\(S_2 = \pi \cdot r_2^2\)

Шаг 3: Нахождение объема усеченного конуса.
Обозначим высоту усеченного конуса через \(h\).

У нас есть формула для объема конуса:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\)

Так как в нашей задаче конус усечен, мы должны использовать оба радиуса оснований и высоту между ними. Обозначим объем усеченного конуса через \(V_{\text{усеч}}\).

\(V_{\text{усеч}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) \cdot h\)

Шаг 4: Подстановка известных значений и вычисления.
У нас даны значения высоты и диагонали осевого сечения.

Высота усеченного конуса: \(h = 5 \, \text{см}\)
Диагональ осевого сечения: \(D = 13 \, \text{см}\)

Для диагонали осевого сечения усеченного конуса справедлива следующая формула:
\(D^2 = r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2\)

Мы знаем, что площадь меньшего основания в 4 раза меньше площади большего основания:
\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4}\)

Теперь мы можем перейти к решению задачи:

1. Из уравнения \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4}\) мы можем выразить \(S_1\) через \(S_2\):

\(S_1 = \frac{1}{4} \cdot S_2\)

2. Заменим \(S_1\) и \(S_2\) в формулах для площадей оснований:

\(\pi \cdot r_1^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot r_2^2\)

3. Сократим \(\pi\) с обеих сторон и возведем в квадрат:

\(r_1^2 = \frac{1}{4} \cdot r_2^2\)

4. Раскроем скобки в формуле для объема усеченного конуса:

\(V_{\text{усеч}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) \cdot h\)

5. Подставим выражение \(r_1^2 = \frac{1}{4} \cdot r_2^2\) в формулу для объема:

\(V_{\text{усеч}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\frac{1}{4} \cdot r_2^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) \cdot h\)

6. Теперь у нас есть уравнение для объема усеченного конуса, где все переменные - радиусы и высота. Мы знаем, что диагональ осевого сечения равна 13, так что можем подставить \(D = 13\) в уравнение:

\(13^2 = (\frac{1}{4} \cdot r_2^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\)

7. Решим получившееся квадратное уравнение относительно переменной \(r_2\). Решение уравнения даст нам значение радиуса большего основания \(r_2\), а затем мы сможем найти радиус меньшего основания \(r_1\) из соотношения \(r_1^2 = \frac{1}{4} \cdot r_2^2\).

Можно найти значения радиусов и объем усеченного конуса, подставив их в формулу.