Скажите приложение Proofreader, как ее адрес скопировать, чтобы работать с ней? 8.9. В треугольнике ABC проведены
Скажите приложение Proofreader, как ее адрес скопировать, чтобы работать с ней?
8.9. В треугольнике ABC проведены медианы AM₁, BN₁, и CP₁, которые пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром тяжести треугольника ABC.
8.10. Даны две касательные TM₁ и TN₁, проведенные к окружности O₁. В точке М₁ находимся внутри окружности O₂, а в точке N₁ находимся снаружи окружности O₂. Докажите, что треугольник TM₁N₁ является прямоугольным.
8.11. В треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF, которые пересекаются в точке O. Докажите, что точка O является ортоцентром треугольника ABC.
9.1. Решите систему уравнений:
-2х + 3у - z = 1
х - 2у + z = -4
4х + у + 2z = 7
9.2. Решите систему уравнений:
3х + 2у - z + 4w = 5
2х - 3у + 4z - w = -3
х + у + z + 2w = 1
4х - y + 3z + w = 7
8.9. В треугольнике ABC проведены медианы AM₁, BN₁, и CP₁, которые пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром тяжести треугольника ABC.
8.10. Даны две касательные TM₁ и TN₁, проведенные к окружности O₁. В точке М₁ находимся внутри окружности O₂, а в точке N₁ находимся снаружи окружности O₂. Докажите, что треугольник TM₁N₁ является прямоугольным.
8.11. В треугольнике ABC проведены высоты AD, BE, CF, которые пересекаются в точке O. Докажите, что точка O является ортоцентром треугольника ABC.
9.1. Решите систему уравнений:
-2х + 3у - z = 1
х - 2у + z = -4
4х + у + 2z = 7
9.2. Решите систему уравнений:
3х + 2у - z + 4w = 5
2х - 3у + 4z - w = -3
х + у + z + 2w = 1
4х - y + 3z + w = 7
Сабина 70
8.9. Чтобы доказать, что точка O является центром тяжести треугольника ABC, мы можем воспользоваться свойством медиан. Медианы треугольника делятся друг другом и их точкой пересечения на отрезки, длины которых равны двум третям длин медиан, при условии, что точка пересечения существует.Давайте рассмотрим треугольник ABC и его медианы AM₁, BN₁ и CP₁. Для доказательства, что точка O является центром тяжести треугольника, нам нужно показать соответствующие отношения длин отрезков AM₁:MO, BN₁:NO и CP₁:OP.
Возьмем отрезок AM₁ и поделим его на три равные части. Обозначим точку деления как G. Поскольку медиана делит отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой пересечения медиан в отношении 2:1, то можем сказать, что AG:GM₁ = 2:1.
Теперь рассмотрим отрезок MO. Поскольку G находится на отрезке AM₁, мы можем представить AM₁ как AG + GM₁. Тогда отношение MO к AM₁ может быть представлено как MO:(AG + GM₁) = 1:2.
Теперь применим это рассуждение к другим медианам треугольника. Аналогично можно показать, что BN₁:NO = 1:2 и CP₁:OP = 1:2.
Таким образом, мы доказали, что точка O является центром тяжести треугольника ABC, поскольку отношения длин соответствующих отрезков AM₁:MO, BN₁:NO и CP₁:OP равны 1:2.
8.10. Чтобы доказать, что треугольник TM₁N₁ является прямоугольным, мы можем воспользоваться свойством касательных и теоремой о касательных, проведенных к окружности.
Предположим, что TM₁ и TN₁ касаются окружности O₁, а точка М₁ находится внутри окружности O₂, а точка N₁ - снаружи окружности O₂.
Тогда у нас есть два случая для рассмотрения.
Случай 1: Точка М₁ находится на окружности O₁. В этом случае треугольник TM₁N₁ будет являться прямоугольным, так как у нас есть касательная TN₁, которая является радиусом окружности O₁, и TM₁, которая является секущей окружности O₁. По теореме о касательных, секущая, проведенная к окружности, будет перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Таким образом, треугольник TM₁N₁ будет прямоугольным.
Случай 2: Точка М₁ находится внутри окружности O₁. В этом случае у нас также есть два подслучая.
Подслучай 2.1: Точка N₁ находится внутри окружности O₂. В этом случае треугольник TM₁N₁ будет являться прямоугольным, так как у нас есть касательная TN₁, которая является радиусом окружности O₁, и TM₁, которая является секущей окружности O₁. По теореме о касательных, секущая, проведенная к окружности, будет перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Таким образом, треугольник TM₁N₁ будет прямоугольным.
Подслучай 2.2: Точка N₁ находится снаружи окружности O₂. В этом случае у нас также есть два подслучая.
Подподслучай 2.2.1: Линия, проходящая через точку М₁ и центр окружности O₂, пересекает окружность O₁ в точке K. В этом случае треугольник TM₁N₁ будет являться прямоугольным, так как тогда TM₁ будет являться радиусом окружности O₁, а TN₁ будет перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания K. Таким образом, треугольник TM₁N₁ будет прямоугольным.
Подподслучай 2.2.2: Линия, проходящая через точку М₁ и центр окружности O₂, не пересекает окружность O₁. В этом случае треугольник TM₁N₁ не будет прямоугольным.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что треугольник TM₁N₁ будет прямоугольным только в случаях, когда точка М₁ находится на окружности O₁ и точка N₁ находится внутри окружности O₂ или наоколо нее.