Каков объём усечённой четырёхугольной пирамиды с одним основанием 8 см, другим основанием 7 см и расстоянием между

Морской_Путник

40

Конечно! Давайте решим задачу о нахождении объёма усечённой четырёхугольной пирамиды.

Дано:
Одно основание пирамиды = 8 см
Другое основание пирамиды = 7 см
Расстояние между основаниями = ? (значение не указано)

Для нахождения объёма усечённой пирамиды, мы будем использовать формулу:

\[ V = \frac{1}{3}h(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2}) \],

где V - объём пирамиды,
h - высота пирамиды,
\( A_1 \) и \( A_2 \) - площади оснований пирамиды.

В нашей задаче, площадь \( A_1 \) будет равна площади основания пирамиды со стороной 8 см, а площадь \( A_2 \) будет равна площади основания пирамиды со стороной 7 см. Для нахождения высоты пирамиды нам необходимо знать расстояние между основаниями.

Пусть расстояние между основаниями равно h.

Теперь, давайте найдём площадь основания пирамиды стороной 8 см.

Площадь основания прямоугольника равна произведению его длины на ширину. В нашем случае, это будет:

\[ A_1 = 8 \times 8 = 64 \, \text{см}^2 \]

Ура! Мы нашли площадь \( A_1 \).

Теперь давайте найдём площадь основания пирамиды стороной 7 см.

Аналогичным образом, это будет:

\[ A_2 = 7 \times 7 = 49 \, \text{см}^2 \]

Отлично! Мы нашли и площадь \( A_2 \).

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды.

Нарисуем прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине разности оснований, а гипотенуза - это высота пирамиды:

\[
\begin{array}{c}
\overline{AC} = \frac{8-7}{2}= \frac{1}{2} \, \text{см} \\
\overline{AB} = h \, \text{см}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
\overline{BC} = \text{Высота пирамиды} = ? \\
\end{array}
\]

Используя теорему Пифагора, можем выразить высоту пирамиды:

\[
\begin{array}{c}
\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 - \overline{AC}^2 \\
\overline{BC} = \sqrt{\overline{AB}^2 - \overline{AC}^2} \\
\end{array}
\]

Вставляя значения и решая уравнение:

\[
\begin{array}{c}
\overline{BC} = \sqrt{h^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \\
\overline{BC} = \sqrt{h^2 - \frac{1}{4}}
\end{array}
\]

Отлично! Мы нашли выражение для высоты пирамиды.

Теперь можно использовать формулу для нахождения объёма пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3}h(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2}) \]

Подставляем найденные значения:

\[ V = \frac{1}{3}h(64 + 49 + \sqrt{64 \times 49}) \]

Мы можем сократить выражение \( \sqrt{64 \times 49} \) до 8 * 7 = 56:

\[ V = \frac{1}{3}h(64 + 49 + 56) \]

А теперь можем суммировать числа в скобках:

\[ V = \frac{1}{3}h(169) \]

Теперь просто домножаем на \( \frac{h}{3} \):

\[ V = \frac{169}{3}h \]

Ответ: объём усечённой четырёхугольной пирамиды с данными параметрами равен \( \frac{169}{3}h \), где h - расстояние между основаниями пирамиды.

Надеюсь, объяснение было понятным и я подробно разобрал каждый шаг решения задачи. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!