Рис. 4.69: Каково доказательство того, что угол АВС больше угла С? Рис. 4.70: Как можно сравнить отрезки АС и

Zolotoy_Orel

40

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности и предоставим подробные ответы.

Задача 1 - Рис. 4.69: Каково доказательство того, что угол АВС больше угла С?

Для доказательства того, что угол АВС больше угла С, мы можем обратиться к основным свойствам углов. В данном случае, нам пригодится свойство угла на окружности.

Доказательство можно представить в несколько шагов:

1. Рассмотрим радиус окружности, проходящей через точки А, В и С. Обозначим его как R.
2. Известно, что любой угол, образованный на окружности, равен половине соответствующего дуги на этой окружности.
3. Обратимся к дуге, противоположной углу АВС (обозначим ее как дугу X). По свойству окружности, это дуга длиной АС.
4. Рассмотрим дугу, противоположную углу С (обозначим ее как дугу Y). Она имеет длину ВС.
5. Поскольку угол АВС больше угла С, то дуга X будет больше дуги Y на половину. Из этого следует, что дуга АС больше дуги ВС.
6. Поскольку соответствующие углы равны половине соответствующих дуг, угол АВС также будет больше угла С.

Таким образом, мы предоставили доказательство того, что угол АВС больше угла С на основании свойств углов и дуг на окружности.

Задача 2 - Рис. 4.70: Как можно сравнить отрезки АС и ВС?

Для сравнения отрезков АС и ВС, мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике АВС.

Давайте представим решение в несколько шагов:

1. Рассмотрим треугольник АВС. По условию изображения, стороны АВ и ВС являются перпендикулярными, а сторона АС - гипотенузой.
2. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами a и b, и гипотенузой c, верно следующее: \(c^2 = a^2 + b^2\).
3. Рассмотрим отрезок АС. Этот отрезок является гипотенузой треугольника АВС.
4. Рассмотрим отрезок ВС. Он является одним из катетов треугольника АВС.
5. Поскольку отрезок ВС - катет, а отрезок АС - гипотенуза, мы можем использовать теорему Пифагора: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
6. Из условия задачи мы знаем, что сторона АВ короче стороны ВС. Пусть длина АВ равна а, а длина ВС равна b.
7. Подставим значения в уравнение: \(AC^2 = a^2 + b^2\).
8. Поскольку а > b, значит, \(a^2 > b^2\). Тогда \(a^2 + b^2 > b^2\).
9. Отсюда следует, что \(AC^2 > BC^2\).
10. Следовательно, отрезок АС длиннее отрезка ВС.

Таким образом, мы сравнили отрезки АС и ВС, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике АВС.

Задача 3 - Рис. 4.72: Каково доказательство того, что сумма BD и DC больше?

Для доказательства того, что сумма BD и DC больше, мы можем применить неравенство треугольника.

Давайте разберем это в несколько шагов:

1. Рассмотрим треугольник BCD. У нас есть три стороны: BD, DC и BC.
2. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.
3. В нашем случае, сторона BD и сторона DC должны быть больше стороны BC.
4. Если мы предположим, что сумма BD и DC меньше стороны BC, то имеем BD + DC < BC.
5. Это означает, что BD + DC + BC < BC + BC, что равно BD + DC + BC < 2BC.
6. Но это противоречит неравенству треугольника, согласно которому BD + DC + BC должна быть больше, чем 2BC.
7. Следовательно, допущение неверно, и на самом деле BD + DC > BC.

Таким образом, мы предоставили доказательство того, что сумма BD и DC больше, используя неравенство треугольника.