Каков объем усеченной пирамиды, у которой стороны основания равны 2 и 8 см, а угол между боковым ребром и плоскостью

Svyatoslav

66

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для объема усеченной пирамиды. Общая формула для объема пирамиды выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

При решении данной задачи есть несколько шагов:

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды. У нас есть два основания: меньшее и большее основание. Формула для площади прямоугольника выглядит следующим образом:

\[S_{\text{прямоугольника}} = \text{длина} \times \text{ширина}.\]

Мы знаем, что стороны меньшего основания равны 2 и 8 см, поэтому его площадь будет:

\[S_{\text{меньшего основания}} = 2 \, \text{см} \times 8 \, \text{см}.\]

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды. Для этого нам понадобится применить теорему Пифагора. Рассмотрим правильный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, половиной меньшего основания и высотой пирамиды, опущенной из вершины на основание.

По условию, угол между боковым ребром и плоскостью большего основания равен 45°. Так как имеем правильный треугольник, то у нас получается прямой треугольник. Поэтому мы можем обозначить половину меньшего основания как \(a = \frac{2}{2} = 1\) см и боковое ребро пирамиды как \(b\). Тогда:

\[\sin(45^\circ) = \frac{a}{b}.\]

Подставив значения, получим:

\[\sin(45^\circ) = \frac{1}{b}.\]

Решим уравнение относительно \(b\):

\[b = \frac{1}{\sin(45^\circ)}.\]

Шаг 3: Найдем высоту пирамиды, используя теорему Пифагора. Обозначим высоту пирамиды как \(h\). Тогда:

\[h^2 = b^2 - a^2.\]

Подставим значения:

\[h^2 = \left(\frac{1}{\sin(45^\circ)}\right)^2 - 1^2.\]

Решим это уравнение для \(h\):

\[h = \sqrt{\left(\frac{1}{\sin(45^\circ)}\right)^2 - 1}.\]

Шаг 4: Найдем объем пирамиды, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h.\]

Подставим известные значения:

\[V = \frac{1}{3} \cdot (2 \, \text{см} \times 8 \, \text{см}) \cdot \sqrt{\left(\frac{1}{\sin(45^\circ)}\right)^2 - 1}.\]

После вычислений получаем ответ на задачу: общий объем усеченной пирамиды равен....

Таким образом, для решения данной задачи мы использовали формулу для объема пирамиды, формулу площади прямоугольника, теорему Пифагора и значение синуса 45°. Рациональные шаги и подробные вычисления помогают нам получить точный ответ на задачу и понять каждый этап решения.