Каков периметр квадрата, в котором стороны проходят через середины сторон данного квадрата, если его длина диагонали

Эдуард

21

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств квадрата и применение теоремы Пифагора.

По условию задачи, длина диагонали составляет 38 см. Для начала, давайте найдем значение длины стороны этого квадрата через длину его диагонали.

Когда диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника, каждый из них имеет катеты равной длины стороны квадрата. Используя теорему Пифагора в одном из этих треугольников, мы можем записать формулу:

\[c^2 = a^2 + b^2,\]

где \(c\) - гипотенуза (длина диагонали), \(a\) и \(b\) - катеты (длина стороны квадрата).

Подставим значение длины диагонали из условия задачи в формулу:

\[38^2 = a^2 + b^2.\]

Теперь мы знаем, что стороны квадрата проходят через середины сторон искомого квадрата. Для такого квадрата каждая его сторона будет составлять половину длины стороны начального квадрата. Используем это знание, и пусть \(x\) будет длиной стороны искомого квадрата.

Теперь мы можем записать выражение для \(a\) и \(b\) через \(x\) в формуле \(38^2 = a^2 + b^2\):

\[38^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2.\]

Упростим это выражение:

\[38^2 = \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4}.\]

Теперь сложим доли:

\[38^2 = \frac{2x^2}{4}.\]

Упростим числитель:

\[38^2 = \frac{x^2}{2}.\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[2 \times 38^2 = x^2.\]

Вычислим значение выражения:

\[2 \times 1444 = x^2.\]

\[2888 = x^2.\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[x = \sqrt{2888}.\]

Округлим значение стороны квадрата до ближайшего целого числа и найдем периметр этого квадрата:

\[x \approx \sqrt{2888} \approx 53.68.\]

Периметр квадрата будет равен:

\[P = 4x \approx 214.72.\]

Таким образом, периметр квадрата, в котором стороны проходят через середины сторон данного квадрата, при диагонали длиной 38 см, составляет около 214.72 см.