Каков периметр параллелограмма ABCD, если сторона AB равна 3 см, сторона AC равна 7 см и угол A равен 60°?

Yascherica

23

Чтобы найти периметр \( P \) параллелограмма ABCD, нужно сложить длины всех его сторон. В данном случае параллелограмм ABCD имеет следующие стороны: AB, BC, CD и DA.

Дано, что сторона AB равна 3 см. Для нахождения длины стороны BC используем теорему косинусов, которая позволяет найти длину стороны треугольника по двум известным сторонам и углу между ними. В нашем случае известны стороны AB и AC, а угол A равен 60°. Формула для нахождения длины стороны BC выглядит следующим образом:

\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)} \]

Подставим известные значения:

\[ BC = \sqrt{3^2 + 7^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \cos(60)} \]

Вычислив это выражение, получим:

\[ BC = \sqrt{9 + 49 - 42 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{58 - 21} = \sqrt{37} \approx 6.08 \, \text{см} \]

Теперь, чтобы найти длину стороны CD, воспользуемся свойствами параллелограмма. Все стороны параллелограмма равны друг другу, поэтому длина стороны CD также равна \( \sqrt{37} \, \text{см} \).

Наконец, чтобы найти длину стороны DA, можно использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны. Это означает, что сторона DA тоже равна 3 см.

Теперь мы можем найти периметр \( P \) параллелограмма ABCD, сложив длины всех его сторон:

\[ P = AB + BC + CD + DA = 3 \, \text{см} + \sqrt{37} \, \text{см} + \sqrt{37} \, \text{см} + 3 \, \text{см} \approx 3 + 6.08 + 6.08 + 3 \approx 18.16 \, \text{см} \]

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен примерно 18.16 см.