Каков периметр правильного 5-угольника, вписанного в окружность, если периметр квадрата, описанного вокруг этой

Skazochnyy_Fakir

10

Периметр квадрата, описанного вокруг вписанного в него правильного пятиугольника, будет служить ключом к решению задачи.

Давайте начнем с определения некоторых важных понятий. Периметр - это сумма длин всех сторон фигуры. Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Воспользуемся свойствами вписанного и описанного многоугольников. Когда правильный многоугольник вписан в окружность, каждая сторона многоугольника является хордой этой окружности. А когда правильный многоугольник описан вокруг окружности, каждая сторона многоугольника является касательной к этой окружности.

Пусть \(P_5\) - периметр вписанного правильного пятиугольника, \(P_4\) - периметр описанного квадрата.

Заметим, что в описанном квадрате каждая сторона равна диаметру окружности, описанной вокруг вписанного пятиугольника. Имея в виду, что в диаметре содержится две стороны квадрата, мы можем выразить длину стороны квадрата, используя радиус окружности.

Таким образом, радиус \(r\) круга, описанного вокруг вписанного пятиугольника, будет половиной длины стороны квадрата: \(r = \frac{{P_4}}{2}\).

Давайте теперь рассмотрим вписанный пятиугольник. Для простоты обозначений представим, что сторона пятиугольника равна \(a\). Тогда периметр пятиугольника \(P_5\) будет равен произведению количества сторон на длину одной стороны, то есть \(P_5 = 5a\).

Так как каждая сторона пятиугольника является хордой окружности, радиусом которой является половина стороны квадрата, мы можем использовать теорему синусов, чтобы выразить сторону пятиугольника через радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника.

Используя теорему синусов для треугольника с радиусом окружности \(r\), стороной пятиугольника \(a\) и половиной стороны пятиугольника \(s = \frac{a}{2}\), мы можем записать:

\[\frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{5})} = r\]

Теперь мы можем объединить наши уравнения и решить задачу. Подставляя значение \(r\), полученное выше, в уравнение для стороны пятиугольника, получаем:

\[\frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{5})} = \frac{{P_4}}{2}\]

Сокращаем общий множитель 2:

\[\frac{a}{\sin(\frac{\pi}{5})} = P_4\]

Обратимся к начальному вопросу. Нам требуется найти периметр пятиугольника, поэтому ищем значение \(P_5\). Ранее мы установили, что \(P_5 = 5a\). Подставляем полученное равенство для \(a\) в это уравнение:

\[P_5 = 5\cdot\frac{P_4}{\sin(\frac{\pi}{5})}\]

Таким образом, периметр пятиугольника \(P_5\) равен \(5\cdot\frac{P_4}{\sin(\frac{\pi}{5})}\), где \(P_4\) - периметр квадрата, описанного вокруг этой окружности.

Это уравнение позволит вам определить периметр пятиугольника при известном периметре квадрата.