Каков периметр правильного 5-угольника, вписанного в окружность, если периметр квадрата, описанного вокруг этой
Каков периметр правильного 5-угольника, вписанного в окружность, если периметр квадрата, описанного вокруг этой окружности, равен 8 дм?
Skazochnyy_Fakir 10
Периметр квадрата, описанного вокруг вписанного в него правильного пятиугольника, будет служить ключом к решению задачи.Давайте начнем с определения некоторых важных понятий. Периметр - это сумма длин всех сторон фигуры. Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все стороны и углы равны.
Воспользуемся свойствами вписанного и описанного многоугольников. Когда правильный многоугольник вписан в окружность, каждая сторона многоугольника является хордой этой окружности. А когда правильный многоугольник описан вокруг окружности, каждая сторона многоугольника является касательной к этой окружности.
Пусть
Заметим, что в описанном квадрате каждая сторона равна диаметру окружности, описанной вокруг вписанного пятиугольника. Имея в виду, что в диаметре содержится две стороны квадрата, мы можем выразить длину стороны квадрата, используя радиус окружности.
Таким образом, радиус
Давайте теперь рассмотрим вписанный пятиугольник. Для простоты обозначений представим, что сторона пятиугольника равна
Так как каждая сторона пятиугольника является хордой окружности, радиусом которой является половина стороны квадрата, мы можем использовать теорему синусов, чтобы выразить сторону пятиугольника через радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника.
Используя теорему синусов для треугольника с радиусом окружности
Теперь мы можем объединить наши уравнения и решить задачу. Подставляя значение
Сокращаем общий множитель 2:
Обратимся к начальному вопросу. Нам требуется найти периметр пятиугольника, поэтому ищем значение
Таким образом, периметр пятиугольника
Это уравнение позволит вам определить периметр пятиугольника при известном периметре квадрата.