Каков периметр правильного пятиугольника, который вписан в окружность, если периметр квадрата, описанного около этой

Arseniy_3991

62

Периметр квадрата, описанного около правильного пятиугольника, равен известному значению \(P\). Чтобы найти периметр самого пятиугольника, давайте разберемся с геометрией и вспомним некоторые свойства этих фигур.

Обозначим через \(s\) сторону квадрата. Так как квадрат описан около окружности, диагональ квадрата будет равна диаметру этой окружности. Длина диагонали квадрата составляет в точности два радиуса окружности, или \(2r\), где \(r\) - радиус окружности.

Теперь давайте рассмотрим пятиугольник. Правильный пятиугольник состоит из пяти одинаковых равносторонних треугольников. Обозначим сторону пятиугольника через \(a\).

Так как пятиугольник вписан в окружность, сторона пятиугольника будет пересекать окружность. При этом вершина каждого треугольника будет располагаться на окружности, а отрезок-радиус, проведенный из центра окружности до любой вершины, будет являться высотой треугольника. В правильном пятиугольнике эта высота проходит через центр окружности и, таким образом, делит на две основания равностороннего треугольника.

Из геометрии известно, что в равностороннем треугольнике высота делит сторону треугольника на две части в пропорции 2:1. Это означает, что \(a\) (сторона пятиугольника) будет составлять две трети стороны квадрата \(s\), или \(\frac{2}{3}s\).

Таким образом, периметр правильного пятиугольника можно найти, сложив пять сторон пятиугольника. Подставим найденное значение стороны пятиугольника и получим:

\[P_{\text{пятиугольника}} = 5a = 5 \cdot \frac{2}{3}s = \frac{10}{3}s\]

Итак, периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен \(\frac{10}{3}\) периметра квадрата, описанного около этой окружности.