Каков периметр прямоугольника ABCD, если его площадь равна 108 и косинус угла ABD равен 3/5?

Antonovich

53

Давайте начнем с того, что периметр прямоугольника состоит из суммы всех его сторон. В нашем случае, прямоугольник ABCD имеет четыре стороны, обозначенные как AB, BC, CD и DA.

Чтобы найти периметр, нам нужно знать значения этих сторон. Однако у нас пока нет такой информации. Но мы можем воспользоваться данными о площади прямоугольника и косинусе угла ABD, чтобы найти эти значения.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. В нашем случае, пусть длина прямоугольника будет \(l\), а ширина - \(w\). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[lw = 108\]

Мы также знаем, что косинус угла ABD равен 3/5. Зная это, мы можем найти отношение сторон прямоугольника. Например, мы можем сказать, что:

\[\frac{l}{w} = \frac{3}{5}\]

Теперь у нас есть система двух уравнений, и мы можем использовать ее для решения задачи.

Давайте решим систему уравнений:

\[lw = 108\]
\[\frac{l}{w} = \frac{3}{5}\]

Мы можем умножить второе уравнение на \(w\), чтобы избавиться от дроби:

\[l = \frac{3}{5}w\]

Теперь мы можем заменить \(l\) в первом уравнении:

\[\frac{3}{5}w \cdot w = 108\]

\[\frac{3}{5}w^2 = 108\]

Чтобы найти \(w\), мы можем умножить обе части уравнения на \(\frac{5}{3}\):

\[w^2 = \frac{108 \cdot 5}{3} = 180\]

Из этого получаем:

\[w = \sqrt{180}\]

Теперь нам нужно найти длину \(l\). Используя второе уравнение, мы можем записать:

\[l = \frac{3}{5}w = \frac{3}{5}\sqrt{180}\]

Теперь мы знаем значения сторон прямоугольника. Чтобы найти периметр, нам нужно сложить длины всех сторон:

\[Периметр = AB + BC + CD + DA = l + w + l + w\]

Подставляем значения:

\[Периметр = \frac{3}{5}\sqrt{180} + \sqrt{180} + \frac{3}{5}\sqrt{180} + \sqrt{180}\]

Для удобства давайте вынесем \(\sqrt{180}\) за скобки:

\[Периметр = (\frac{3}{5} + 1 + \frac{3}{5} + 1)\sqrt{180}\]

\[Периметр = \frac{8}{5}\sqrt{180}\]

Теперь мы можем вычислить значение этого выражения:

\[Периметр \approx 15.59\] (округленно до двух знаков после запятой)

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD примерно равен 15.59.