Каков периметр прямоугольника, если точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 6 см и от большей

Pugayuschiy_Pirat

69

Чтобы найти периметр прямоугольника с заданными условиями, обратимся к свойствам диагоналей этой фигуры.

Для начала, давайте обозначим данную прямоугольную форму следующим образом: пусть a будет длиной меньшей стороны прямоугольника, а b будет длиной большей стороны. Будем считать, что точка пересечения диагоналей лежит посередине, что делает каждый из отрезков диагоналей равным.

Исходя из задачи, известно, что точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 6 см и от большей стороны на 4 см. Это означает, что половина одного из отрезков диагоналей равно \(a/2 - 6\) см, а половина другого отрезка равна \(b/2 - 4\) см.

Согласно свойству прямоугольников, диагонали являются гипотенузами нашего прямоугольного треугольника. Значит, можно воспользоваться теоремой Пифагора для вычисления длины каждого из отрезков диагонали.

Таким образом, получаем следующие уравнения:
\((a/2 - 6)^2 + (b/2 - 4)^2 = a^2\)
\((a/2 - 6)^2 + (b/2 - 4)^2 = b^2\)

Для решения этой системы уравнений сначала упростим уравнения:
\((a^2/4 - 12a + 36) + (b^2/4 - 8b + 16) = a^2\)
\((a^2/4 - 12a + 36) + (b^2/4 - 8b + 16) = b^2\)

Затем объединим подобные члены:
\((a^2 + b^2)/4 - 12a - 8b + 52 = a^2\)
\((a^2 + b^2)/4 - 12a - 8b + 52 = b^2\)

Уберем общий знаменатель (4):
\(a^2 + b^2 - 48a - 32b + 208 = 4a^2\)
\(a^2 + b^2 - 48a - 32b + 208 = 4b^2\)

Упростим уравнения, перенеся все элементы влево:
\(3a^2 - 48a - 32b + 208 = 0\)
\(a^2 - 4b^2 - 48a - 32b + 208 = 0\)

Теперь у нас есть система квадратных уравнений. Мы можем решить ее с помощью метода подстановки или метода избавления от переменных, но давайте воспользуемся методом подстановки, чтобы упростить решение.

Из первого уравнения получаем:
\(a^2 = 48a + 32b - 208\)

Подставим это во второе уравнение:
\((48a + 32b - 208) - 4b^2 - 48a - 32b + 208 = 0\)

После сокращения и упрощения получаем:
\(-4b^2 + 208 = 0\)
\(4b^2 = 208\)
\(b^2 = 52\)
\(b = \sqrt{52}\)
\(b = 2\sqrt{13}\)

Теперь найдем значение a, подставив значение b в любое из уравнений. Для простоты выберем первое уравнение:
\(a^2 = 48a + 32b - 208\)
\(a^2 = 48a + 32 \cdot 2\sqrt{13} - 208\)
\(a^2 = 48a + 64\sqrt{13} - 208\)

Используем квадратное уравнение для нахождения значения a:
\(a^2 - 48a - 64\sqrt{13} + 208 = 0\)

Для удобства можно использовать метод полного квадратного трехчлена:
\(a^2 - 48a + 2404 - 2404 - 64\sqrt{13} + 208 = 0\)
\((a - 24)^2 - 64\sqrt{13} + 2144 = 0\)
\((a - 24)^2 = 64\sqrt{13} - 2144\)
\(a - 24 = \pm \sqrt{64\sqrt{13} - 2144}\)
\(a = 24 \pm \sqrt{64\sqrt{13} - 2144}\)

Теперь мы знаем значения a и b. Чтобы найти периметр прямоугольника, нам нужно сложить все его стороны. Периметр определяется по формуле: \(2a + 2b\).

Подставляем найденные значения a и b:
\(2(24 \pm \sqrt{64\sqrt{13} - 2144}) + 2(2\sqrt{13})\)

Таким образом, периметр прямоугольника с заданными условиями составляет \(48 \pm 2\sqrt{64\sqrt{13} - 2144} + 4\sqrt{13}\) сантиметров.