Контрольная работа по геометрии. 8 класс. Четырехугольники. 15 вариант. 1. Каковы стороны параллелограмма АВСД, если

Лука

43

1. Для решения задачи о сторонах параллелограмма АВСД, с учетом общего периметра 48 см и разницы между длинами сторон АВ и ВС, равной 10 см, воспользуемся следующими шагами:

Обозначим стороны параллелограмма АВСД как АВ, BC, CD и DA.
По условию, АВ - ВС = 10 см.
Также, периметр параллелограмма равен 48 см.

Для решения задачи можно использовать систему уравнений:
\[\begin{cases} 2(АВ+BC) = 48, \\ АВ - BC = 10. \end{cases}\]

Из второго уравнения получаем АВ = 10 + BC.

Подставим это значение в первое уравнение:
2((10 + BC) + BC) = 48,
20 + 2BC = 48,
2BC = 48 - 20,
2BC = 28,
BC = 14.

Таким образом, мы нашли значение стороны ВС: BC = 14 см.

Теперь найдем значение стороны АВ:
АВ = BC + 10 = 14 + 10 = 24 см.

Таким образом, стороны параллелограмма АВСД равны: АВ = 24 см, ВС = 14 см.

2. Для нахождения значений углов АВСД, если угол А в 4 раза больше угла В, воспользуемся следующими шагами:

Обозначим угол В как B.
Тогда угол А будет равен 4B.

Сумма углов в параллелограмме равна 360º.
Также известно, что угол В равен углу CDА, и угол А равен углу ВСD.

Составим уравнение, используя эти равенства:
B + 4B + B + 4B = 360º.

Объединяя подобные слагаемые:
10B = 360º.

Делим обе части уравнения на 10:
B = 36º.

Таким образом, угол В равен 36º.

Подставим это значение в первоначальное уравнение:
А = 4B = 4 * 36º = 144º.

Итак, углы АВСД составляют: А = 144º, В = 36º, C = 144º, D = 36º.

3. Если один из углов равнобедренной трапеции равен 65º, для нахождения значений других углов воспользуемся следующими шагами:

Одним из углов равнобедренной трапеции является вершина, образованная основаниями.
Пусть этот угол равен 65º.

Так как трапеция равнобедренная, то углы при равных основаниях равны.
Таким образом, между вершиной и основанием имеется равносторонний треугольник.

Таким образом, оставшиеся два угла равнобедренной трапеции также равны 65º.

Итак, значение каждого из оставшихся углов равно 65º.

4. Если угол САД равен 300º и СД равна 27 см, для нахождения значений диагоналей прямоугольника АВСД воспользуемся следующими шагами:

Угол САД равен 180º минус угол В, так как смежные углы дополнительны.
Поэтому угол В равен 180º - 300º = -120º.

Но угол не может быть отрицательным, поэтому добавим 360º, чтобы получить положительное значение:
$360º - 120º = 240º.

Теперь у нас есть значения углов АВСД: САД = 300º, СDА = 240º, BVС = 120º, ВСD = 120º.

Выразим угол В через АСД:
120º = 360º - АСД.

Из этого уравнения найдем значение угла АСД:
АСД = 360º - 120º = 240º.

Теперь мы знаем все значения углов АВСД: САД = 300º, CDА = 240º, ВСD = 120º, АСД = 240º.

Теперь найдем значения диагоналей.

Так как СД - это одна из диагоналей, а параллелограмм АВСД - это прямоугольник, диагонали параллельны и равны.

Таким образом, значение второй диагонали равно СД = 27 см.

Итак, обе диагонали прямоугольника АВСД равны 27 см.

5. Чтобы доказать, что параллелограмм АВСД является параллелограммом при условии, что АВ = СД, а углы АВД и СДВ равны, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Параллелограмм АВСД представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.

Из условия задачи известно, что АВ = СД.

Также, углы АВД и СДВ равны.

Теперь рассмотрим параллельные стороны АВ и СД.

Предположим, что АВ ≠ СД.

Тогда мы имеем противоречие с условием параллелограмма, где АВ и СД должны быть равными.

Таким образом, из нашего предположения следует, что АВ = СД.

Теперь рассмотрим углы АВД и СДВ.

Если АВ ≠ СД, то углы АВД и СДВ не могут быть равными, так как они соответствуют равным сторонам параллелограмма.

Опять же, это противоречие с условием задачи.

Таким образом, мы пришли к выводу, что АВ = СД и углы АВД и СДВ равны.

Итак, мы доказали, что четырехугольник АВСД является параллелограммом при условии, что АВ равна СД и углы АВД и СДВ равны.