Каков периметр треугольника АБС, если известно, что длина стороны АС равна 15см, стороны БС равна 8см, а косинус угла

Григорий_1925

11

Для решения данной задачи нам потребуется использовать закон косинусов. Закон косинусов гласит, что в любом треугольнике с известными длинами сторон \(a\), \(b\) и углом \(\theta\) между этими сторонами, косинус угла \(\theta\) может быть выражен следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)\]

где \(c\) - длина третьей стороны треугольника. В нашем случае, мы знаем длины сторон \(AC\) и \(BC\) и косинус угла \(C\).

Давайте подставим известные значения в формулу и найдем длину третьей стороны \(AB\):

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(C)\]

Подставляем значения: \(AC = 15\), \(BC = 8\) и \(\cos(C) = \frac{4}{15}\):

\[AB^2 = 15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \frac{4}{15}\]

\[AB^2 = 225 + 64 - 64\]

\[AB^2 = 225\]

Чтобы найти длину \(AB\), возведем обе части уравнения в квадрат:

\[AB = \sqrt{225}\]

\[AB = 15\]

Таким образом, длина стороны \(AB\) равна 15 см.

Теперь, чтобы найти периметр треугольника \(ABC\), сложим длины всех его сторон:

\[П = AB + AC + BC\]
\[П = 15 + 15 + 8\]
\[П = 38\]

Таким образом, периметр треугольника \(ABC\) равен 38 см.