Каков периметр треугольника MNK, если стороны AB, BC и AC известны и равны 14 см, 16 см и 18 см соответственно

Svetlyachok_V_Lesu

5

Для решения данной задачи, мы сможем воспользоваться теоремой косинусов, так как нам известны длины всех сторон треугольника и соотношение между стороной МК и АС.

Первым шагом будет найти угол МКА. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Подставляем известные значения:

\[18^2 = 14^2 + 16^2 - 2 \cdot 14 \cdot 16 \cdot \cos(\angle ABC)\]

Решаем полученное уравнение относительно косинуса угла \(\angle ABC\):

\[\cos(\angle ABC) = \frac{14^2 + 16^2 - 18^2}{2 \cdot 14 \cdot 16} = \frac{196 + 256 - 324}{448} = \frac{128}{448} = \frac{8}{28}\]

Сокращаем дробь:

\[\cos(\angle ABC) = \frac{2}{7}\]

Теперь, чтобы найти угол \(\angle ABC\), мы можем воспользоваться обратной функцией косинуса:

\[\angle ABC = \arccos\left(\frac{2}{7}\right)\]

Используя калькулятор или таблицу значений, мы можем найти, что \(\angle ABC \approx 64.32^\circ\).

Затем, нам необходимо найти длину стороны МК, используя данное отношение:

\[\frac{MK}{AC} = \frac{MK}{18} = \frac{2}{7}\]

Решаем полученное уравнение относительно MK:

\[MK = \frac{2}{7} \cdot 18 = \frac{36}{7} \approx 5.14\text{ см}\]

И, наконец, мы можем найти периметр треугольника MNK, просуммировав длины всех сторон:

\[MNK = AB + BC + AC = 14 + 16 + 18 = 48\text{ см}\]

Таким образом, периметр треугольника MNK равен 48 см.