Каков периметр треугольника, образованного центрами двух окружностей, которые касаются друг друга внешним образом

Plamennyy_Kapitan

36

Чтобы решить эту задачу, давайте взглянем на изображение треугольника, образованного центрами этих окружностей:

\[
\begin{{array}}{{c}}
\begin{{array}}{{ccccc}}
& & O_1 & & \\
& / & \mid & \backslash & \\
O_2 & - & - & - & O_3 \\
& \backslash & \mid & / & \\
& & O_4 & &
\end{{array}}
\end{{array}}
\]

Мы видим, что треугольник \(O_1O_2O_3\) образован центрами окружностей, а их точки касания обозначены как \(O_4\). Кроме того, радиусы этих окружностей обозначены как \(R\) и \(r\), соответственно.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Чтобы найти эту сумму, давайте разобьем треугольник \(O_1O_2O_3\) на отдельные стороны и найдем их длины.

Строим отрезки \(O_1O_4\), \(O_2O_4\) и \(O_3O_4\) - это радиусы окружностей \(R\) и \(r\). Так как окружности касаются друг друга внутренним образом, то отрезок \(O_4O_1\) является перпендикуляром к отрезку \(O_1O_2\) в его точке середины, а отрезки \(O_4O_2\) и \(O_4O_3\) - перпендикулярами к отрезкам \(O_2O_3\) и \(O_1O_3\) соответственно.

Теперь обратимся к геометрическим свойствам окружностей. Так как \(O_1O_4\) и \(O_4O_2\) являются радиусами окружности радиуса \(R\), то они равны между собой и равны \(R\). Аналогично, так как \(O_4O_2\) и \(O_4O_3\) являются радиусами окружности радиуса \(r\), то они равны между собой и равны \(r\).

Мы также замечаем, что \(O_1O_2O_4O_3\) - прямоугольник с прямыми углами, так как его стороны параллельны радиусам окружности \(R\) и радиусам окружности \(r\).

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника:

1) Сторона \(O_1O_2\) равна \(R + R = 2R\).
2) Сторона \(O_2O_3\) равна \(O_2O_4 + O_4O_3\), то есть \(R + r\).
3) Сторона \(O_1O_3\) равна \(O_1O_4 + O_4O_3\), то есть \(R + r\).

Теперь суммируем длины сторон треугольника:

Периметр треугольника \(O_1O_2O_3 = O_1O_2 + O_2O_3 + O_1O_3 = 2R + (R + r) + (R + r) = 4R + 2r\).

Таким образом, периметр треугольника равен \(4R + 2r\).