Какова высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, если сумма длин всех его ребер равна 60

Поющий_Долгоног

54

Делаем несколько предположений для начала. Пусть сторона основания квадрата равна \(a\), а высота параллелепипеда равна \(h\). Мы знаем, что сумма длин всех ребер равна 60 см, поэтому можем записать уравнение:

\[4a + 4(a + h) + 2h = 60\]

Разберем это уравнение по шагам. Вначале учтем, что каждое ребро параллелепипеда имеет по две стороны длиной \(a\) и по две стороны длиной \(a + h\). Тогда мы получаем, что сумма длин всех ребер равна \(4a + 4(a + h)\). Также учтем, что параллелепипед имеет две вертикальные грани, каждая из которых имеет высоту \(h\), вот почему мы добавляем \(2h\) в наше уравнение. В результате мы получаем равенство \(4a + 4(a + h) + 2h = 60\).

Теперь раскроем скобки:

\[4a + 4a + 4h + 2h = 60\]

Упростим:

\[8a + 6h = 60\]

Теперь выразим одну переменную через другую. Для этого можем выразить \(a\) через \(h\):

\[8a = 60 - 6h\]
\[a = \frac{{60 - 6h}}{{8}}\]

Далее заменим \(a\) в уравнении площади основания \(a^2\) на полученное выражение:

\[(\frac{{60 - 6h}}{{8}})^2 = h^2\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{{(60 - 6h)^2}}{{8^2}} = h^2\]
\[\frac{{(60 - 6h)(60 - 6h)}}{{64}} = h^2\]
\[\frac{{(3600 - 720h + 36h^2)}}{{64}} = h^2\]

Умножим обе части уравнения на 64 для избавления от знаменателя:

\[3600 - 720h + 36h^2 = 64h^2\]

Приравняем все члены уравнения к нулю:

\[0 = 64h^2 - 36h^2 + 720h - 3600\]

Сократим подобные члены:

\[0 = 28h^2 + 720h - 3600\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае, заменим \(h\) на \(x\) и получим:

\[28x^2 + 720x - 3600 = 0\]

Для решения этого уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Вычислим дискриминант:

\[D = 720^2 - 4 \cdot 28 \cdot (-3600)\]

\[D = 518400 - (-403200)\]

\[D = 921600\]

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня. Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

\[x = \frac{{-720 \pm \sqrt{921600}}}{{2 \cdot 28}}\]

\[x = \frac{{-720 \pm 960}}{{56}}\]

Теперь найдем два возможных значения для \(h\):

\[h_1 = \frac{{-720 + 960}}{{56}} = \frac{{240}}{{56}} = 4.2857\]

\[h_2 = \frac{{-720 - 960}}{{56}} = \frac{{-1680}}{{56}} = -30\]

Возьмем только положительное значение \(h_1 = 4.2857\), так как высота не может быть отрицательной.

Итак, высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием составляет примерно 4.2857 см.