Каков периметр вписанного треугольника в окружность радиусом 6, если его площадь составляет 174?

Григорьевна

24

Для начала давайте вспомним некоторые свойства вписанного треугольника и окружности.

1. Вписанный треугольник: Это треугольник, у которого все вершины лежат на окружности. У него есть несколько свойств, которые нам помогут решить задачу.

2. Диаметр окружности: Это отрезок, который проходит через центр окружности и имеет концы на самой окружности. Диаметр окружности всегда вдвое больше радиуса.

3. Радиус окружности: Это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности.

Теперь приступим к решению задачи.

1. Пусть A, B и C - вершины вписанного треугольника, а O - центр окружности.

2. Пусть AB, BC и CA - стороны вписанного треугольника, а \(P\) - его периметр.

3. По формуле для площади треугольника, мы знаем, что \(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). В данном случае высотой будет являться радиус окружности.

4. Так как периметр равен сумме длин всех сторон, то у нас есть следующее равенство: \(P = AB + BC + CA\).

5. Теперь воспользуемся формулой для площади треугольника: \(P = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).

6. В нашем случае мы знаем, что площадь треугольника составляет 174, а радиус окружности - 6. Заменим значения в формулу и получим: \(174 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 6\).

7. Сократим выражение: \(348 = AB \cdot 6\).

8. Разделим обе части уравнения на 6, чтобы выразить AB: \(AB = \frac{348}{6} = 58\).

9. Теперь у нас есть значение стороны AB. Но это только половина диаметра окружности, поэтому удвоим его, чтобы найти диаметр окружности. \(AB_{\text{диаметр}} = 2 \cdot AB = 2 \cdot 58 = 116\).

10. Итак, диаметр окружности равен 116.

11. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон, поэтому \(P = AB_{\text{диаметр}} + BC + CA\).

12. Учитывая, что BC = AB и CA = AB, мы можем переписать это как \(P = AB_{\text{диаметр}} + AB + AB\).

13. Подставим значение AB_{\text{диаметр}} = 116 и AB = 58: \(P = 116 + 58 + 58 = 232\).

Итак, периметр вписанного треугольника в окружность радиусом 6, при условии что его площадь составляет 174, равен 232.