Каков период d2 второй дифракционной решетки, используя дифракционную решетку с известным d1=1.2*10^-5 м? Ученик

Морской_Шторм

57

Для решения этой задачи нам потребуется использовать условие дифракции на решетке: \(d\sin\theta = m\lambda\), где \(d\) - период решетки, \(\theta\) - угол дифракции, \(m\) - порядок дифракционного максимума, \(\lambda\) - длина волны.

Учитывая, что у нас имеются две дифракционные решетки, обозначим период первой решетки как \(d_1\) и период второй решетки как \(d_2\).

Период первой решетки, \(d_1\), задан и равен \(1.2 \times 10^{-5}\) м.

Угол дифракции \(\theta\) можно представить как \( \theta \approx \tan\theta \).

По заданию мы видим две дифракционные картинки: рисунок 2а и рисунок 2б. Обратимся к рисунку 2а.

На рисунке указаны главные дифракционные максимумы точками, и их порядки обозначены цифрами. Первый дифракционный максимум соответствует порядку \(m = 1\), второй максимум - \(m = 2\), и так далее.

Из задачи мы знаем, что углы дифракции малы, поэтому можно сделать приближение \(\sin\theta \approx \tan\theta\).

Для первой решетки, используя приближение и условие дифракции на решетке, получим:

\[d_1\tan\theta_1 = \lambda \quad (1)\]

Аналогично для второй решетки:

\[d_2\tan\theta_2 = \lambda \quad (2)\]

Поскольку дифракционные максимумы находятся на одном и том же порядке для обоих решеток (рисунок 2), мы можем установить следующее:

\[m \cdot d_1 = (m+1) \cdot d_2 \quad (3)\]

Подставим (1) и (2) в (3):

\[m \cdot \frac{d_1}{\tan\theta_1} = (m+1) \cdot \frac{d_2}{\tan\theta_2}\]

Учитывая, что \(\frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta\), получим:

\[m \cdot d_1\cot\theta_1 = (m+1) \cdot d_2\cot\theta_2\]

Для простоты обозначим \(m \cdot d_1\) как \(X\) и \((m+1) \cdot d_2\) как \(Y\). Тогда уравнение примет вид:

\[X\cot\theta_1 = Y\cot\theta_2\]

Выразим \(\cot\theta_2\) через \(\cot\theta_1\):

\[\cot\theta_2 = \frac{X}{Y}\cot\theta_1\]

Также, используя приближение \(\sin\theta \approx \tan\theta\), можем записать:

\(\sin\theta_1 \approx \tan\theta_1\)

\(\sin\theta_2 \approx \tan\theta_2\)

\(\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{d_1}\)

\(\sin\theta_2 = \frac{\lambda}{d_2}\)

Теперь можем заменить \(\tan\theta_1\) и \(\tan\theta_2\) в выражении для \(\cot\theta_2\):

\[\cot\theta_2 = \frac{X}{Y}\cot\theta_1 = \frac{X}{Y}\frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{X}{Y}\frac{\frac{\lambda}{d_1}}{\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{d_1}\right)^2}}\]

Заменим значения, которые уже известны:

\(d_1 = 1.2 \times 10^{-5}\) м, \(X = m \cdot d_1\), \(Y = (m+1) \cdot d_2\).

Теперь мы можем выразить \(d_2\):

\[\frac{X}{Y}\frac{\frac{\lambda}{d_1}}{\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{d_1}\right)^2}} = \frac{m \cdot d_1}{(m+1) \cdot d_2}\frac{\frac{\lambda}{d_1}}{\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{d_1}\right)^2}} = \frac{m}{m+1}\frac{\lambda}{\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{d_1}\right)^2}} = \frac{\lambda}{d_2}\]

Отсюда получаем:

\[d_2 = \frac{d_1}{\frac{m}{m+1}\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{d_1}\right)^2}}\]

Подставим числовые значения:

\[d_2 = \frac{1.2 \times 10^{-5}}{\frac{m}{m+1}\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{1.2 \times 10^{-5}}\right)^2}}\]

Полученное выражение дает нам период \(d_2\) второй дифракционной решетки. Теперь можно подставлять различные значения порядка дифракционного максимума, \(m\), и длины волны, \(\lambda\), которые даны в задаче, чтобы определить конкретное значение периода \(d_2\).