Каков период d2 второй дифракционной решетки, используя дифракционную решетку с известным d1=1.2*10^-5 м? Ученик

Морской_Шторм

57

Для решения этой задачи нам потребуется использовать условие дифракции на решетке: $d\sin \theta =m\lambda$, где $d$ - период решетки, $\theta$ - угол дифракции, $m$ - порядок дифракционного максимума, $\lambda$ - длина волны.

Учитывая, что у нас имеются две дифракционные решетки, обозначим период первой решетки как $d_1$ и период второй решетки как $d_2$.

Период первой решетки, $d_1$, задан и равен $1.2\times {10}^{-5}$ м.

Угол дифракции $\theta$ можно представить как $\theta \approx \tan \theta$.

По заданию мы видим две дифракционные картинки: рисунок 2а и рисунок 2б. Обратимся к рисунку 2а.

На рисунке указаны главные дифракционные максимумы точками, и их порядки обозначены цифрами. Первый дифракционный максимум соответствует порядку $m=1$, второй максимум - $m=2$, и так далее.

Из задачи мы знаем, что углы дифракции малы, поэтому можно сделать приближение $\sin \theta \approx \tan \theta$.

Для первой решетки, используя приближение и условие дифракции на решетке, получим:

$$d_1\tan {\theta }_1=\lambda (1)$$

Аналогично для второй решетки:

$$d_2\tan {\theta }_2=\lambda (2)$$

Поскольку дифракционные максимумы находятся на одном и том же порядке для обоих решеток (рисунок 2), мы можем установить следующее:

$$m\cdot d_1=(m+1)\cdot d_2(3)$$

Подставим (1) и (2) в (3):

$$m\cdot \frac{d_1}{\tan {\theta }_1}=(m+1)\cdot \frac{d_2}{\tan {\theta }_2}$$

Учитывая, что $\frac{1}{\tan \theta }=\cot \theta$, получим:

$$m\cdot d_1\cot {\theta }_1=(m+1)\cdot d_2\cot {\theta }_2$$

Для простоты обозначим $m\cdot d_1$ как $X$ и $(m+1)\cdot d_2$ как $Y$. Тогда уравнение примет вид:

$$X\cot {\theta }_1=Y\cot {\theta }_2$$

Выразим $\cot {\theta }_2$ через $\cot {\theta }_1$:

$$\cot {\theta }_2=\frac{X}{Y}\cot {\theta }_1$$

Также, используя приближение $\sin \theta \approx \tan \theta$, можем записать:

$\sin {\theta }_1\approx \tan {\theta }_1$

$\sin {\theta }_2\approx \tan {\theta }_2$

$\sin {\theta }_1=\frac{\lambda }{d_1}$

$\sin {\theta }_2=\frac{\lambda }{d_2}$

Теперь можем заменить $\tan {\theta }_1$ и $\tan {\theta }_2$ в выражении для $\cot {\theta }_2$:

$$\cot {\theta }_2=\frac{X}{Y}\cot {\theta }_1=\frac{X}{Y}\frac{\sin {\theta }_1}{\cos {\theta }_1}=\frac{X}{Y}\frac{\frac{\lambda }{d_1}}{\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda }{d_1}\right)}^2}}$$

Заменим значения, которые уже известны:

$d_1=1.2\times {10}^{-5}$ м, $X=m\cdot d_1$, $Y=(m+1)\cdot d_2$.

Теперь мы можем выразить $d_2$:

$$\frac{X}{Y}\frac{\frac{\lambda }{d_1}}{\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda }{d_1}\right)}^2}}=\frac{m\cdot d_1}{(m+1)\cdot d_2}\frac{\frac{\lambda }{d_1}}{\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda }{d_1}\right)}^2}}=\frac{m}{m+1}\frac{\lambda }{\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda }{d_1}\right)}^2}}=\frac{\lambda }{d_2}$$

Отсюда получаем:

$$d_2=\frac{d_1}{\frac{m}{m+1}\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda }{d_1}\right)}^2}}$$

Подставим числовые значения:

$$d_2=\frac{1.2\times {10}^{-5}}{\frac{m}{m+1}\sqrt{1-{\left(\frac{\lambda }{1.2\times {10}^{-5}}\right)}^2}}$$

Полученное выражение дает нам период $d_2$ второй дифракционной решетки. Теперь можно подставлять различные значения порядка дифракционного максимума, $m$, и длины волны, $\lambda$, которые даны в задаче, чтобы определить конкретное значение периода $d_2$.