Каков период и частота колебаний гармонического осциллятора, если его смещение определяется выражением

Sonechka

47

Для решения этой задачи, нам следует использовать формулы, связанные с гармоническими колебаниями.

Первоначально, нам нужно определить период колебаний $T$ и их частоту $f$.

Период $T$ - это время, за которое происходит одно полное колебание. Он обратно пропорционален частоте $f$ и выражается по формуле:

$$T=\frac{1}{f}$$

Частота $f$ в свою очередь определяется формулой:

$$f=\frac{1}{T}$$

Таким образом, период и частота колебаний определяются друг через друга взаимосвязанными формулами.

Теперь рассмотрим выражение для смещения $x$ гармонического осциллятора, данное в задаче:

$$x=2.4\cdot \cos (\frac{5\pi t}{4}+\frac{\pi }{6})$$

Для нахождения смещения $x$ и скорости $v$ в момент времени $t=0$, подставим $t=0$ в выражение для $x$:

$$x(0)=2.4\cdot \cos (\frac{5\pi \cdot 0}{4}+\frac{\pi }{6})$$

Рассчитаем это выражение:

$$x(0)=2.4\cdot \cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$$

$$x(0)=2.4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x(0)=1.2\cdot \sqrt{3}$$

Таким образом, смещение в момент времени $t=0$ равно $x(0)=1.2\cdot \sqrt{3}$ м.

Для нахождения скорости $v$ в момент времени $t=0$, нужно взять производную от выражения для смещения $x(t)$ по времени $t$:

$$v(t)=\frac{dx}{dt}=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \sin (\frac{5\pi t}{4}+\frac{\pi }{6})$$

Подставим $t=0$ в выражение для $v(t)$:

$$v(0)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \sin (\frac{5\pi \cdot 0}{4}+\frac{\pi }{6})$$

$$v(0)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$$

$$v(0)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \frac{1}{2}$$

$$v(0)=-1.2\cdot 5\pi$$

Таким образом, скорость в момент времени $t=0$ равна $v(0)=-1.2\cdot 5\pi$ м/с.

Теперь рассмотрим момент времени $t=1$ секунда.

Для нахождения скорости $v$ в момент времени $t=1$, подставим $t=1$ в выражение для $v(t)$:

$$v(1)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \sin (\frac{5\pi \cdot 1}{4}+\frac{\pi }{6})$$

$$v(1)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \sin (\frac{5\pi }{4}+\frac{\pi }{6})$$

$$v(1)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \sin \left(\frac{11\pi }{12}\right)$$

Вычислив значение этого выражения, мы найдем скорость в момент времени $t=1$ секунда.

Что касается ускорения в момент времени $t=1$ секунда, мы можем взять производную от скорости $v(t)$ по времени $t$:

$$a(t)=\frac{dv}{dt}=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \cos (\frac{5\pi t}{4}+\frac{\pi }{6})$$

Подставим $t=1$ в выражение для $a(t)$, чтобы получить ускорение в момент времени $t=1$ секунда.

$$a(1)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \cos (\frac{5\pi \cdot 1}{4}+\frac{\pi }{6})$$

$$a(1)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \cos (\frac{5\pi }{4}+\frac{\pi }{6})$$

$$a(1)=-2.4\cdot \frac{5\pi }{4}\cdot \cos \left(\frac{11\pi }{12}\right)$$

Аналогично, вычисляем значение этого выражения, чтобы получить ускорение в момент времени $t=1$ секунда.

Итак, период и частота колебаний гармонического осциллятора могут быть найдены с использованием формул, а смещение и скорость в различные моменты времени подставляя значения времени в предоставленные выражения.