Каков период и частота колебаний гармонического осциллятора, если его смещение определяется выражением

Sonechka

47

Для решения этой задачи, нам следует использовать формулы, связанные с гармоническими колебаниями.

Первоначально, нам нужно определить период колебаний \( T \) и их частоту \( f \).

Период \( T \) - это время, за которое происходит одно полное колебание. Он обратно пропорционален частоте \( f \) и выражается по формуле:

\[ T = \frac{1}{f} \]

Частота \( f \) в свою очередь определяется формулой:

\[ f = \frac{1}{T} \]

Таким образом, период и частота колебаний определяются друг через друга взаимосвязанными формулами.

Теперь рассмотрим выражение для смещения \( x \) гармонического осциллятора, данное в задаче:

\[ x = 2.4 \cdot \cos \left(\frac{5\pi t}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

Для нахождения смещения \( x \) и скорости \( v \) в момент времени \( t = 0 \), подставим \( t = 0 \) в выражение для \( x \):

\[ x(0) = 2.4 \cdot \cos\left(\frac{5\pi \cdot 0}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

Рассчитаем это выражение:

\[ x(0) = 2.4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \]

\[ x(0) = 2.4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ x(0) = 1.2 \cdot \sqrt{3} \]

Таким образом, смещение в момент времени \( t = 0 \) равно \( x(0) = 1.2 \cdot \sqrt{3} \) м.

Для нахождения скорости \( v \) в момент времени \( t = 0 \), нужно взять производную от выражения для смещения \( x(t) \) по времени \( t \):

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \sin\left(\frac{5\pi t}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

Подставим \( t = 0 \) в выражение для \( v(t) \):

\[ v(0) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \sin\left(\frac{5\pi \cdot 0}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

\[ v(0) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]

\[ v(0) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ v(0) = -1.2 \cdot 5\pi \]

Таким образом, скорость в момент времени \( t = 0 \) равна \( v(0) = -1.2 \cdot 5\pi \) м/с.

Теперь рассмотрим момент времени \( t = 1 \) секунда.

Для нахождения скорости \( v \) в момент времени \( t = 1 \), подставим \( t = 1 \) в выражение для \( v(t) \):

\[ v(1) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \sin\left(\frac{5\pi \cdot 1}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

\[ v(1) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

\[ v(1) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \sin\left(\frac{11\pi}{12}\right) \]

Вычислив значение этого выражения, мы найдем скорость в момент времени \( t = 1 \) секунда.

Что касается ускорения в момент времени \( t = 1 \) секунда, мы можем взять производную от скорости \( v(t) \) по времени \( t \):

\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{5\pi t}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

Подставим \( t = 1 \) в выражение для \( a(t) \), чтобы получить ускорение в момент времени \( t = 1 \) секунда.

\[ a(1) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{5\pi \cdot 1}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

\[ a(1) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

\[ a(1) = -2.4 \cdot \frac{5\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) \]

Аналогично, вычисляем значение этого выражения, чтобы получить ускорение в момент времени \( t = 1 \) секунда.

Итак, период и частота колебаний гармонического осциллятора могут быть найдены с использованием формул, а смещение и скорость в различные моменты времени подставляя значения времени в предоставленные выражения.