Каков период колебаний ртути в открытых сообщающихся сосудах, имеющих различные площади поперечного сечения

Елизавета

19

Для определения периода колебаний ртути в открытых сообщающихся сосудах нам понадобится использовать закон сохранения энергии.

Первоначально, обратимся к формуле для периода колебаний \(T\) математического маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

где \(L\) - длина маятника, \(g\) - ускорение свободного падения.

В нашем случае, ртуть находится в сосудах, которые сообщают друг другу. Когда столбик ртути отводится от положения равновесия и отпускается, возникают колебания с периодом \(T\). Положение равновесия для ртути находится на одинаковой высоте в обоих сосудах, поэтому длина маятника будет равна половине разности высот сосудов:

\[L = \frac{h_1 - h_2}{2}\]

где \(h_1\) и \(h_2\) - высоты ртути в каждом из сосудов.

Также, так как мы пренебрегаем трением, то вращение ртути вокруг своей оси не будет влиять на период колебаний.

Теперь обратимся к площади поперечного сечения сосудов. Из закона Паскаля известно, что давление в жидкости передается без изменений в каждом направлении. Отсюда можно сделать вывод, что давление на дно сосуда равно давлению в нем же на любой глубине над дном.

Пусть площадь поперечного сечения первого сосуда равна \(S_1\), а площадь поперечного сечения второго сосуда равна \(S_2\). Тогда можно записать уравнение для давления на дно первого сосуда и давления на дно второго сосуда:

\[P_1 = \frac{F_1}{S_1} = \frac{m g}{S_1}\]
\[P_2 = \frac{F_2}{S_2} = \frac{m g}{S_2}\]

где \(F_1\) и \(F_2\) - силы, действующие на дно первого и второго сосудов соответственно.

Так как сосуды сообщаются друг с другом, то давление на любой глубине над дном равно в обоих сосудах. Следовательно:

\[P_1 = P_2\]
\[\frac{m g}{S_1} = \frac{m g}{S_2}\]

Отсюда можно выразить отношение площадей поперечного сечения сосудов:

\[\frac{S_1}{S_2} = 1\]

Теперь мы можем выразить длину маятника \(L\) через площади поперечного сечения сосудов:

\[L = \frac{h_1 - h_2}{2} = \frac{2h}{2} = h\]

где \(h\) - высота столбика ртути над положением равновесия.

Итак, у нас есть выражение для периода колебаний:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{h}{g}}\]

Теперь, подставляя в формулу известные значения, получим окончательный ответ.