Каков период колебания системы, состоящей из подвешенного шарика массой 300 г и пули массой 100 г, если пуля летит

Valera

2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать законы сохранения механической энергии и импульса. Первым шагом, определим положение, в котором подвешенный шарик и пуля находятся в состоянии покоя, перед тем, как пуля столкнется с ним.

Масса пули: \(m_1 = 100 \ г = 0.1 \ кг\)
Масса шарика: \(m_2 = 300 \ г = 0.3 \ кг\)
Скорость пули: \(v_1 = 20 \ м/с\)
Ускорение свободного падения: \(g = 10 \ м/с^2\)
Период колебания системы: \(T\)

Первым шагом определим изменение импульса системы при столкновении пули с подвешенным шариком:

\[ \Delta p = m_1 \cdot v_1 = 0.1 \ кг \cdot 20 \ м/с = 2 \ кг \cdot м/с\]

Закон сохранения импульса гласит, что изменение импульса системы равно нулю при отсутствии внешних сил. Таким образом, изменение импульса пули должно быть компенсировано изменением импульса шарика.

\[ -\Delta p = m_2 \cdot v_2\]

Где \(v_2\) - скорость шарика после столкновения.

\[ -\Delta p = 0.3 \ кг \cdot v_2\]

Используя уравнение выше, мы можем найти скорость шарика:

\[v_2 = \frac{-\Delta p}{ m_2} = \frac{2 \ кг \cdot м/с}{0.3 \ кг} \approx 6.67 \ м/с\]

Теперь у нас есть начальная скорость шарика. Чтобы найти период колебания системы, мы можем использовать закон сохранения энергии. Потенциальная энергия, которую имеет пуля при скорости \(v_1\), преобразуется в потенциальную энергию шарика при скорости \(v_2\), когда пуля передает свою энергию шарику.

Первоначальная потенциальная энергия пули: \(E_{p1} = m_1 \cdot g \cdot h_1\), где \(h_1\) - высота относительно начальной точки.
Конечная потенциальная энергия шарика: \(E_{p2} = m_2 \cdot g \cdot h_2\), где \(h_2\) - высота относительно начальной точки.

Так как начальная и конечная высоты равны, \(h_1 = h_2\), и мы можем записать:

\[m_1 \cdot g \cdot h = m_2 \cdot g \cdot h\]

Отсюда мы находим, что массу пули можно сократить:

\[m_1 = m_2 \cdot \frac{g}{g} = m_2 \cdot 1 = m_2\]

Используя данное соотношение, мы можем найти высоту \(h\), на которую поднимается шарик:

\[h = \frac{\Delta p^2}{2 \cdot m_2 \cdot g} = \frac{(2 \ кг \cdot м/с)^2}{2 \cdot 0.3 \ кг \cdot 10 \ м/с^2} \approx 2.67 \ м\]

Теперь, найдя высоту, мы можем использовать классическую формулу для периода колебания системы, состоящей из подвешенного шарика:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{h}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2.67 \ м}{10 \ м/с^2}} \approx 3.45 \ с\]

Таким образом, период колебания данной системы составляет примерно \(3.45 \ с\). Это означает, что подвешенный шарик будет совершать полный цикл колебаний в течение примерно \(3.45 \ с\).