Каков период крутильных колебаний дисков, связанных пружиной, если они вращаются без трения вокруг горизонтальной оси?

Светлый_Мир

21

Чтобы определить период крутильных колебаний дисков, связанных пружиной и вращающихся без трения вокруг горизонтальной оси, мы можем использовать формулу для периода колебаний вращательного маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k}}\]

Где \(T\) - период колебаний, \(\pi\) - математическая константа, \(I\) - момент инерции системы, \(k\) - коэффициент пропорциональности между вращательным моментом и углом закручивания.

Сначала вычислим момент инерции системы. Момент инерции дисков можно рассчитать с помощью формулы:

\[I = \frac{1}{2}mR^2\]

Где \(m\) - масса диска, \(R\) - радиус диска.

Для первого диска, масса \(m_1 = 2,00\) кг, радиус \(R_1 = 0,500\) м. Подставим эти значения в формулу:

\[I_1 = \frac{1}{2} \cdot 2,00 \cdot (0,500)^2\]
\[I_1 = 0,50 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь рассчитаем момент инерции для второго диска. Масса \(m_2 = 3,00\) кг, радиус \(R_2 = 0,500\) м:

\[I_2 = \frac{1}{2} \cdot 3,00 \cdot (0,500)^2\]
\[I_2 = 0,75 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Общий момент инерции системы будет равен сумме моментов инерции двух дисков:

\[I = I_1 + I_2\]
\[I = 0,50 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 + 0,75 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]
\[I = 1,25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь, когда у нас есть значение момента инерции \(I\) и коэффициент пропорциональности \(k = 5,91 \, \text{Н} \cdot \text{м/рад}\), мы можем рассчитать период колебаний с помощью формулы:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k}}\]
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{1,25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}{5,91 \, \text{Н} \cdot \text{м/рад}}}\]

Подставляем числовые значения и выполняем вычисления:

\[T \approx 2\pi\sqrt{\frac{0,2116 \, \text{рад}^2}{5,91 \, \text{Н} \cdot \text{м/рад}}}\]
\[T \approx 2\pi\sqrt{0,0358}\]
\[T \approx 2\pi \times 0,1892\]
\[T \approx 1,1892\pi\]

Таким образом, период крутильных колебаний дисков, связанных пружиной, составляет примерно \(1,1892\pi\) секунд.