Каков период обращения пылинки массой 1 мг и зарядом 10-6 Кл, движущейся по окружности в однородном магнитном поле

Цветок

4

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся знания о движении заряда в магнитном поле. Перед тем как приступить к решению, проведем небольшую вводную информацию.

Заряд, движущийся в магнитном поле, ощущает силу Лоренца, которая влияет на его траекторию. Сила Лоренца вычисляется по формуле:

\[F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin(\theta)\]

где:
\(q\) - заряд частицы (в данном случае пылинки),
\(v\) - скорость частицы,
\(B\) - модуль индукции магнитного поля,
\(\theta\) - угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции поля.

Так как пылинка движется по окружности, вектор скорости ортогонален радиусу окружности, а значит угол \(\theta\) между вектором скорости и вектором магнитной индукции полностью равен 90 градусам. Следовательно, \(\sin(\theta) = 1\).

Теперь мы можем переписать формулу силы Лоренца следующим образом:

\[F = q \cdot v \cdot B\]

Так как пылинка движется по окружности, на нее действуют только силы центробежной силы и силы Лоренца. Эти силы должны быть равными и противоположно направленными. Центробежная сила выражается следующей формулой:

\[F = \frac{m \cdot v^2}{r}\]

где:
\(m\) - масса пылинки,
\(v\) - скорость пылинки,
\(r\) - радиус окружности, по которой движется пылинка.

Так как силы равны и противоположно направлены, можем приравнять их:

\[q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{r}\]

Далее, зная, что масса пылинки равна 1 мг (1 мг = \(10^{-6}\) кг), а ее заряд равен \(10^{-6}\) Кл, продолжим решение.

\[10^{-6} \cdot v \cdot B = \frac{10^{-6} \cdot v^2}{r}\]

Упростим уравнение, домножив обе его части на \(10^6\):

\[v \cdot B = \frac{v^2}{r}\]

Избавимся от дроби, переместив вторую часть уравнения влево и преобразовав его:

\[v^2 - v \cdot B \cdot r = 0\]

Теперь можем решить это квадратное уравнение относительно скорости \(v\). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = B^2 \cdot r^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-B \cdot r)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[D = B^2 \cdot r^2 + 4 \cdot B \cdot r\]

Теперь найдем корни квадратного уравнения с помощью формулы:

\[v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -B \cdot r\), \(c = 0\).

\[v = \frac{B \cdot r \pm \sqrt{D}}{2}\]

Подставим найденное значение скорости \(v\) в уравнение силы Лоренца, чтобы получить выражение для радиуса окружности \(r\):

\[10^{-6} \cdot v \cdot B = \frac{10^{-6} \cdot v^2}{r}\]

Упростим уравнение, умножив обе его части на \(r\) и \(10^6\):

\[r = B \cdot v\]

Теперь у нас есть окончательное выражение для радиуса окружности \(r\):

\[r = B \cdot \left(\frac{B \cdot r \pm \sqrt{D}}{2}\right)\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить относительно \(r\). Однако, для точного решения необходимо знать значение модуля индукции магнитного поля \(B\). Наше решение остановим здесь, и если вы предоставите значение \(B\), я смогу продолжить решение и найти значение \(r\).

Помните, что решение данной задачи может быть достаточно сложным и требовать точных данных для получения конкретных результатов. Рекомендую обратиться к учителю или к академическому источнику для получения достоверной информации по данной теме.