Каков период обращения второй планеты, если отношение кубов их больших полуосей равно 64 и первая планета – Земля?

Zagadochnyy_Elf

11

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать третий закон Кеплера о движении планет вокруг Солнца. Он гласит, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты. Давайте обозначим период обращения второй планеты как \(T\) и большую полуось как \(a\).

Таким образом, у нас есть следующая пропорция:

\[\frac{T^2}{a^3} = \frac{T_{\text{Земли}}^2}{a_{\text{Земли}}^3}\]

Известно, что отношение кубов больших полуосей двух планет равно 64, то есть:

\[\frac{a^3}{a_{\text{Земли}}^3} = 64\]

Мы также знаем, что период обращения Земли вокруг Солнца составляет около 365 дней, что можно преобразовать в секунды:

\(T_{\text{Земли}} = 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\) секунд

Теперь, используя эти данные, мы можем найти период обращения второй планеты.

1. Найдем \(a_{\text{Земли}}^3\) из уравнения \(\frac{a^3}{a_{\text{Земли}}^3} = 64\):

\[\frac{a^3}{64} = a_{\text{Земли}}^3\]

\(a_{\text{Земли}}^3\) равно одной шестой от \(a^3\):

\(a_{\text{Земли}}^3 = \frac{a^3}{6}\)

2. Подставим \(a_{\text{Земли}}^3\) в уравнение \(\frac{T^2}{a^3} = \frac{T_{\text{Земли}}^2}{a_{\text{Земли}}^3}\):

\[\frac{T^2}{a^3} = \frac{T_{\text{Земли}}^2}{\frac{a^3}{6}}\]

Упростим выражение, умножив обе части на \(\frac{a^3}{6}\):

\[T^2 = \frac{T_{\text{Земли}}^2 \cdot a^3}{6}\]

3. Найдем \(T\) путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения:

\[T = \sqrt{\frac{T_{\text{Земли}}^2 \cdot a^3}{6}}\]

Теперь, если у нас есть значение большой полуоси орбиты второй планеты \(a\), мы можем подставить его в это уравнение, чтобы получить период обращения в секундах.