Каков период собственных колебаний ртути в манометре, если длина столба ртути в его коммуницирующих трубках составляет

Vesenniy_Veter

17

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для периода собственных колебаний \(T\) в системах с амплитудой малыми колебаниями:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

где \( m \) - масса, \( k \) - коэффициент упругости.

В данном случае, манометр представляет собой длинные вертикальные трубки, каждая из которых имеет одинаковую длину \( i = 50 \) см.

Столбик ртути между верхними концами обеих трубок может совершать вертикальные колебания, поэтому грузик внизу верхней трубки подвешен на пружине и образует систему с амплитудой малыми колебаниями.

Для расчета массы \( m \) воспользуемся формулой:

\[ m = V \cdot \rho \]

где \( V \) - объем жидкости (ртути), \( \rho \) - плотность жидкости (ртути).

Очевидно, что объем жидкости внутри трубок равен объему столба ртути между ними. Так как жидкость нерастяжима, то изменение высоты столбика в одной трубке равно изменению высоты столбика в другой трубке.

Тогда, объем жидкости \( V \) можно выразить следующим образом:

\[ V = S \cdot h \]

где \( S \) - площадь поперечного сечения трубок, \( h \) - высота столбика ртути в одной из трубок.

Таким образом, \( V = S \cdot i \), где \( i = 50 \) см - высота столбика ртути. Подставляя полученное выражение в формулу для массы \( m \), получаем:

\[ m = S \cdot i \cdot \rho \]

Теперь нам нужно найти коэффициент упругости \( k \). В системе с пружиной и грузиком, коэффициент упругости связан с силой \( F \), действующей на систему и смещением \( x \) от положения равновесия:

\[ k = \frac{F}{x} \]

В данном случае, сила \( F \) действует на грузик, равная весу столбика ртути. Так как плотность жидкости \( \rho \) выше, чем плотность воздуха, создается разность давлений между верхними концами трубок и нижними концами трубок, что приводит к силе, уравновешивающей вес столбика ртути.

Рассмотрим нижний конец верхней трубки. Давление воздуха над столбиком ртути в этой точке равно атмосферному давлению \( P_0 \), а давление ртути находится под воздействием атмосферного давления \( P_0 \) и давления столбика ртути \( P \) (которое мы и хотим найти).

Тогда, сила \( F \), действующая на грузик, равна силе давления \( P \) столбика ртути, умноженной на площадь сечения трубки:

\[ F = (P - P_0) \cdot S \]

Силу \( F \) можно также выразить как произведение массы \( m \) столбика ртути и ускорения свободного падения \( g \):

\[ F = m \cdot g \]

Приравнивая оба выражения для силы \( F \), получим:

\[ (P - P_0) \cdot S = m \cdot g \]

Теперь мы можем выразить давление \( P \) через известные величины:

\[ P = P_0 + \frac{m \cdot g}{S} \]

Подставляем полученное выражение для давления \( P \) в формулу для \( k \), получаем:

\[ k = \frac{m \cdot g}{x} = \frac{\left(S \cdot i \cdot \rho \right) \cdot g}{x} \]

Теперь мы можем подставить полученные значения для \( m \) и \( k \) в формулу для периода \( T \):

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{\left(S \cdot i \cdot \rho \right)}{\left(\frac{S \cdot i \cdot \rho \cdot g}{x}\right)}} \]

Упрощая формулу, получим:

\[ T = 2\pi\sqrt{\left(\frac{x}{g}\right)} \]

Таким образом, период собственных колебаний ртути в манометре с длиной столба ртути \( i = 50 \) см равен \( T = 2\pi\sqrt{\left(\frac{x}{g}\right)} \), где \( x \) - смещение грузика от положения равновесия, а \( g \) - ускорение свободного падения.

При решении задачи необходимо знать значения \( x \) и \( g \), чтобы получить окончательный ответ.