Какова напряженность поля в точках, расположенных на биссектрисе угла, где пересекаются две бесконечные плоскости

Shumnyy_Popugay

61

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется закон Кулона, который гласит:

\[
E = \dfrac{{k \cdot Q}}{{r^2}}
\]

где \(E\) - напряженность электрического поля, \(k\) - постоянная Кулона (\(k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(Q\) - заряд, создающий поле, \(r\) - расстояние от точки до заряда.

Для расчета поля на биссектрисе угла, где пересекаются две плоскости, нам нужно разделить задачу на две составляющие - по одной плоскости на разные стороны биссектрисы.

Пусть рассматривается первая плоскость с плотностью заряда \(σ_1 = 10 \, \text{мкКл/м}^2\).
Расстояние от точки до первой плоскости будет обозначено \(d_1\). Если применить закон Кулона, то получим:

\[
E_1 = \dfrac{{k \cdot σ_1}}{{d_1^2}}
\]

Согласно геометрическим свойствам биссектрисы угла, можно установить, что

\[
d_1 = d \cdot \sin\left(\dfrac{{α}}{2}\right)
\]

где \(d\) - расстояние от точки до пересечения плоскостей, а \(α\) - угол между плоскостями (\(α = 120°\)).

Плотность заряда на второй плоскости составляет \(σ_2 = -10 \, \text{мкКл/м}^2\). Аналогично предыдущему шагу, можно записать:

\[
E_2 = \dfrac{{k \cdot σ_2}}{{d_2^2}}
\]

где \(d_2\) - расстояние от точки до второй плоскости.

Исходя из геометрических свойств биссектрисы угла, можно также найти:

\[
d_2 = d \cdot \cos\left(\dfrac{{α}}{2}\right)
\]

Тогда полное значение напряженности поля на биссектрисе угла будет:

\[
E_{\text{общ}} = E_1 + E_2
\]

Подставляя все известные значения, получим ответ. Произведем необходимые вычисления:

\[d_1 = d \cdot \sin\left(\dfrac{{120°}}{2}\right) \approx d \cdot \sin(60°) = \dfrac{d \cdot \sqrt{3}}{2}\]

\[E_1 = \dfrac{{k \cdot σ_1}}{{d_1^2}} = \dfrac{{9 \times 10^9 \cdot 10 \times 10^{-6}}}{{\left(\dfrac{d \cdot \sqrt{3}}{2}\right)^2}} = \dfrac{{9 \times 10^{9} \cdot 10 \times 10^{-6}}}{{\dfrac{3d^2}{4}}} = \dfrac{{40 \times 10^{-3} \times 2}}{{d^2}} = \dfrac{{80}}{{d^2}} \, \text{Н/Кл}\]

\[d_2 = d \cdot \cos\left(\dfrac{{120°}}{2}\right) \approx d \cdot \cos(60°) = \dfrac{d}{2}\]

\[E_2 = \dfrac{{k \cdot σ_2}}{{d_2^2}} = \dfrac{{9 \times 10^9 \cdot (-10 \times 10^{-6})}}{{\left(\dfrac{d}{2}\right)^2}} = \dfrac{{-360}}{{d^2}} \, \text{Н/Кл}\]

\[E_{\text{общ}} = E_1 + E_2 = \dfrac{{80}}{{d^2}} - \dfrac{{360}}{{d^2}} = \dfrac{{80 - 360}}{{d^2}} = \dfrac{{-280}}{{d^2}} \, \text{Н/Кл}\]

Таким образом, напряженность поля на биссектрисе угла, где пересекаются две бесконечные плоскости под углом α = 120° и с плотностями заряда \(σ_1 = 10 \, \text{мкКл/м}^2\) и \(σ_2 = -10 \, \text{мкКл/м}^2\) соответственно, равна \(\dfrac{{-280}}{{d^2}}\) Н/Кл.