Каков период вращения электрона на первой боровской орбите в ионизированном атоме лития с двумя отнятыми электронами?

Магический_Единорог

12

Период вращения электрона на первой боровской орбите в ионизированном атоме лития с двумя отнятыми электронами можно рассчитать с использованием формулы, связывающей период обращения, радиус орбиты и скорость электрона. Давайте проведем все необходимые расчеты.

Первым шагом нам понадобится найти радиус орбиты для электрона на первой боровской орбите в ионизированном атоме лития с двумя отнятыми электронами. Радиус орбиты определяется по формуле Резерфорда:

\[r = \frac{{n^2 \cdot h^2 \cdot \varepsilon_0 \cdot m_e \cdot e^2}}{{4 \cdot \pi^2 \cdot Z \cdot \left(ke^2\right)^2}} \]

где:
- n - номер орбиты (для первой боровской орбиты n=1),
- h - постоянная Планка (\(6.62607015 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}\)),
- \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная (\(8.8541878128 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\)),
- \(m_e\) - масса электрона (\(9.10938356 \times 10^{-31} \, \text{кг}\)),
- e - элементарный заряд (\(1.602176634 \times 10^{-19} \, \text{Кл}\)),
- Z - порядковый номер атома (для ионизированного лития с двумя отнятыми электронами Z=3),
- k - постоянная Кулона (\(8.9875517923 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[r = \frac{{(1^2) \cdot (6.62607015 \times 10^{-34})^2 \cdot (8.8541878128 \times 10^{-12}) \cdot (9.10938356 \times 10^{-31}) \cdot (1.602176634 \times 10^{-19})^2}}{{4 \cdot (\pi^2) \cdot (3) \cdot (8.9875517923 \times 10^9)^2}} \]

Упрощаем выражение:

\[r = \frac{{(6.62607015 \times 10^{-34})^2 \cdot (8.8541878128 \times 10^{-12}) \cdot (9.10938356 \times 10^{-31}) \cdot (1.602176634 \times 10^{-19})^2}}{{4 \cdot (\pi^2) \cdot (3) \cdot (8.9875517923 \times 10^9)^2}} \]

Вычисляем значение радиуса орбиты:

\[r \approx 5.29177210903 \times 10^{-11} \, \text{м}\]

Теперь, когда у нас есть радиус орбиты, мы можем рассчитать скорость электрона на этой орбите с помощью классической формулы:

\[v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{{T}} \]

где:
- v - скорость электрона,
- T - период вращения электрона на орбите.

Подставляя известные значения:

\[v = \frac{{2 \cdot (\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{T}} \]

Теперь нам нужно связать это с количеством отнятых электронов. Поскольку было отнято два электрона, период вращения должен стать в два раза быстрее (если предположить, что оставшийся свободный электрон не меняет орбит). То есть, новый период вращения будет:

\[T_{\text{новый}} = \frac{{T_{\text{оригинальный}}}}{2} \]

\[T_{\text{оригинальный}} = 2 \cdot T_{\text{новый}} \]

Теперь мы можем заменить T в предыдущем выражении и решить его относительно v:

\[v = \frac{{2 \cdot (\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{2 \cdot T_{\text{новый}}}} \]

Упрощаем выражение:

\[v = \frac{{(\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{T_{\text{новый}}}} \]

Теперь нам нужно рассмотреть электрон на первой боровской орбите без отнятых электронов, чтобы определить T_{\text{оригинальный}}, период вращения:

\[T_{\text{оригинальный}} = \frac{{2 \cdot \pi \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{v_{\text{оригинальный}}}} \]

Заменяем радианную скорость z:

\[v_{\text{оригинальный}} = \frac{{2 \cdot (\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{T_{\text{оригинальный}}}} \]

Решаем это уравнение относительно T_{\text{оригинальный}}:

\[T_{\text{оригинальный}} = \frac{{2 \cdot (\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{v_{\text{оригинальный}}}} \]

У нас есть два уравнения, связывающих T_{\text{оригинальный}} и T_{\text{новый}}:

\[T_{\text{оригинальный}} = 2 \cdot T_{\text{новый}} \]
\[T_{\text{оригинальный}} = \frac{{2 \cdot (\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{v_{\text{оригинальный}}}} \]

Подставляем второе уравнение в первое уравнение:

\[\frac{{2 \cdot (\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{v_{\text{оригинальный}}}} = 2 \cdot T_{\text{новый}} \]

Теперь решаем уравнение относительно T_{\text{новый}}:

\[T_{\text{новый}} = \frac{{(\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{v_{\text{оригинальный}}}} \]

Таким образом, период вращения электрона на первой боровской орбите в ионизированном атоме лития с двумя отнятыми электронами равен \(\frac{{(\pi) \cdot (5.29177210903 \times 10^{-11})}}{{v_{\text{оригинальный}}}}\).