Каким будет высота надводной части льдины в бочке с мазутом, если на границе воды и мазута образовалась льдина толщиной

Цветочек

31

Для решения данной задачи нам необходимо использовать принцип Архимеда, который гласит: "Всякое тело, погруженное в жидкость, испытывает со стороны этой жидкости в вертикальном направлении силоуравновешенную силу, равную по модулю весу вытесненной жидкости и направленную вверх".

1. Нам известно, что граница между водой и мазутом образовала льдину толщиной 10 см. Поскольку лед свободно плавает под мазутом без касания стенок бочки, это означает, что всего объема льдины достаточно для вытеснения соответствующего объема мазута.

2. Допустим, что высота надводной части льдины составляет \( h \) (в метрах). Тогда высота подводной части льдины равна \( 0.1 - h \) (поскольку общая толщина льдины составляет 10 см, а надводная часть - \( h \)).

3. Чтобы найти объем вытесненного мазута, нужно вычислить объем льдины и вычесть его из общего объема бочки.

Объем подводной части льдины равен \( V_{\text{подводной части льдины}} = S_{\text{подводной части льдины}} \times (0.1 - h) \),

где \( S_{\text{подводной части льдины}} \) - площадь подводной части льдины.
\( S_{\text{подводной части льдины}} = S_{\text{полной льдины}} \times \frac{{0.1 - h}}{{0.1}} \),

где \( S_{\text{полной льдины}} \) - площадь полной льдины.
\( S_{\text{полной льдины}} = S_{\text{площади бочки}} \).

Объем мазута равен \( V_{\text{мазута}} = S_{\text{площади бочки}} \times h \).

Таким образом, вытесненный объем мазута равен разности объема мазута и объема подводной части льдины:
\( V_{\text{вытесненного мазута}} = S_{\text{площади бочки}} \times h - S_{\text{площади бочки}} \times \frac{{0.1 - h}}{{0.1}} \).

4. Согласно принципу Архимеда, вес вытесненного мазута равен силе Архимеда, действующей на льдину:
\( m_{\text{мазута}} \times g = \rho_{\text{льда}} \times V_{\text{вытесненного мазута}} \times g \),

где \( m_{\text{мазута}} \) - масса мазута, \( g \) - ускорение свободного падения, а \( \rho_{\text{льда}} \) - плотность льда.

5. Мы можем перейти к равенству объемов:

\( m_{\text{мазута}} = \rho_{\text{мазута}} \times V_{\text{мазута}} \).

Совместив уравнения из пунктов 4 и 5, получим:

\( \rho_{\text{мазута}} \times V_{\text{мазута}} = \rho_{\text{льда}} \times V_{\text{вытесненного мазута}} \),

\( \rho_{\text{мазута}} \times S_{\text{площади бочки}} \times h = \rho_{\text{льда}} \times (S_{\text{площади бочки}} \times h - S_{\text{площади бочки}} \times \frac{{0.1 - h}}{{0.1}}) \),

\( \rho_{\text{мазута}} \times h = \rho_{\text{льда}} \times (h - \frac{{0.1 - h}}{{0.1}}) \),

\( \rho_{\text{мазута}} \times h = \rho_{\text{льда}} \times (h - 10 + h) \),

\( \rho_{\text{мазута}} \times h = \rho_{\text{льда}} \times (2h - 10) \),

\( \rho_{\text{мазута}} \times h = 2\rho_{\text{льда}} \times h - 10\rho_{\text{льда}} \),

\( 10\rho_{\text{льда}} = (\rho_{\text{мазута}} - 2\rho_{\text{льда}}) \times h \),

\( h = \frac{{10\rho_{\text{льда}}}}{{\rho_{\text{мазута}} - 2\rho_{\text{льда}}}} \).

6. Подставляя известные значения, получаем:

\( h = \frac{{10 \times 920}}{{900 - 2 \times 920}} \approx 5.26 \) (ответ округляем до двух знаков после запятой).

Таким образом, высота надводной части льдины в бочке с мазутом составляет приблизительно 5.26 метров.