Каков потенциал электрического поля в центре треугольника, который образуется после изгиба тонкого стержня таким

Снегурочка

5

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом суперпозиции и принять, что треугольник состоит из трёх тонких заряженных стержней, каждый из которых имеет свою линейную плотность заряда.

Представим себе треугольник, у которого каждая из сторон является тонким заряженным стержнем длиной \(b = 10 \, \text{см}\) и с линейной плотностью заряда \(t = 10 \, \text{нКл/м}\).

Для начала рассмотрим одну из сторон треугольника, которая является тонким заряженным стержнем длиной \(b\). Потенциал, создаваемый этой стороной в точке \(P\), которая находится на расстоянии \(d\) от центра стержня, можно найти по формуле электрического поля точечного заряда:

\[ dV = \frac{{k \cdot dq}}{{r}} \]

где \( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2 \) - постоянная Кулона, \( dq \) - элементарный заряд одной частицы стержня, а \( r \) - расстояние между элементарным зарядом и точкой \( P \).

Так как наш треугольник состоит из трёх таких сторон, мы можем просуммировать потенциалы от каждой из сторон, чтобы получить общий потенциал в центре треугольника.

Сначала найдем элементарный заряд \( dq \) одной частицы стержня. Для этого воспользуемся определением линейной плотности заряда \( t = \frac{{Q}}{{L}} \), где \( Q \) - заряд стержня, а \( L \) - длина стержня. Поскольку у нас имеется одна частица заряда на каждый метр стержня, то:

\[ dq = t \cdot dl \]

где \( dl \) - элементарный участок стержня.

Теперь мы можем записать формулу для потенциала данной стороны:

\[ dV_1 = \frac{{k \cdot dq}}{{r_1}} \]

где \( r_1 \) - расстояние между элементарным зарядом и точкой \( P \) на данной стороне.

Проанализируем геометрию треугольника на рисунке и заметим, что растояние \( r_1 \) от элементарного заряда до точки \( P \) на данной стороне равно половине боковой стороны треугольника, то есть \( r_1 = \frac{{b}}{{2}} \).

Тогда мы можем записать это выражение в формулу для потенциала данной стороны:

\[ dV_1 = \frac{{k \cdot t \cdot dl}}{{\frac{{b}}{{2}}}} \]

Теперь мы можем просуммировать потенциалы от всех трёх сторон треугольника:

\[ V = 3 \cdot \int_{0}^{b} \frac{{k \cdot t \cdot dl}}{{\frac{{b}}{{2}}}} \]

\[ V = 6k \cdot t \cdot \int_{0}^{b} dl \]

\[ V = 6k \cdot t \cdot l \]

где \( l \) - длина стороны треугольника.

Подставляя значения постоянной Кулона \( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2 \), линейной плотности заряда \( t = 10 \, \text{нКл/м} \), и длины стороны треугольника \( l = 0.1 \, \text{м} \), мы получаем:

\[ V = 6 \cdot 9 \cdot 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2 \cdot 10 \, \text{нКл/м} \cdot 0.1 \, \text{м} \]

\[ V = 54 \cdot 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2 \cdot \text{нКл/м} \cdot \text{м} \]

\[ V = 54 \cdot 10^9 \, \text{В} \cdot \text{Кл} \cdot \text{м} \]

\[ V = 54 \, \text{В} \cdot \text{Кл} \cdot \text{м} \]

Таким образом, потенциал электрического поля в центре треугольника, образованного изгибом тонкого стержня, составляет 54 вольта на метр.