Каков радиус данной окружности, если длина перпендикуляра ON, проведенного к хорде DC, составляет 12 см, а сумма углов

Zvezdopad_Na_Gorizonte_5276

39

Давайте разберемся с этой задачей.

Мы знаем, что длина перпендикуляра ON - это расстояние от центра окружности до хорды DC. Дано, что длина этого отрезка равна 12 см.

Также нам известно, что сумма углов ODN и NCO составляет 60 градусов.

Перейдем к решению.

1. Обратите внимание, что ODN и NCO - это центральные углы, образованные хордой DC.

2. Зная, что центральный угол в окружности равен удвоенному углу, образованному хордой, мы можем предположить, что ODN и NCO - это половины угла, равного 60 градусов. Таким образом, каждый из этих углов равен 30 градусам.

3. Вспомним, что угол, образованный хордой и перпендикуляром, равен половине угла, опирающегося на эту хорду. Значит, угол ODN равен 2 * 30 градусов = 60 градусов.

4. Возьмем прямоугольный треугольник ODN, где OD - это радиус окружности, а DN - это длина перпендикуляра ON.

5. Теперь мы можем применить теорему синусов к этому треугольнику. Она гласит:

\(\frac{{DN}}{{\sin ODN}} = \frac{{OD}}{{\sin NOD}}\)

или в нашем случае:

\(\frac{{12}}{{\sin 60^\circ}} = \frac{{OD}}{{\sin 30^\circ}}\)

6. Решим эту формулу относительно радиуса и найдем его значение.

7. Выразим \(\sin 60^\circ\) и \(\sin 30^\circ\) в числовом виде:

\(\frac{{12}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}} = \frac{{OD}}{{\frac{1}{2}}}\)

8. Упростим формулу, умножив обе части на 2:

\(24 = OD \times \sqrt{3}\)

9. Теперь избавимся от корня, разделив обе части на \(\sqrt{3}\):

\(OD = \frac{{24}}{{\sqrt{3}}}\)

10. Чтобы упростить полученное значение, умножим и разделим его на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от корня в знаменателе:

\(OD = \frac{{24}}{{\sqrt{3}}} \times \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{24\sqrt{3}}}{{3}}\)

11. Наконец, упростим полученное значение:

\(OD = \frac{{8\sqrt{3}}}{{1}} = 8\sqrt{3}\)

Таким образом, радиус данной окружности равен \(8\sqrt{3}\) см.