Какова площадь поверхности пирамиды PABCD, где P - вершина правильной четырехугольной пирамиды, ABCD - сторона

Магнитный_Магнат

28

Чтобы найти площадь поверхности пирамиды PABCD с заданными параметрами, мы можем использовать формулу площади поверхности пирамиды:

\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}},\]

где \(S\) - площадь поверхности пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, а \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности пирамиды.

Начнем с расчета площади основания пирамиды, которое в данном случае является четырехугольником ABCD. Для решения этой задачи нам нужно знать формулу для площади четырехугольника. Поскольку у нас имеется правильный четырехугольник, у которого все стороны и углы равны, мы можем использовать формулу для площади квадрата.

Площадь квадрата определяется формулой: \(S_{\text{кв}} = a^2\), где \(a\) - длина стороны квадрата.

В нашем случае, сторона квадрата (сторона основания пирамиды) равна 10, поэтому мы можем вычислить площадь основания следующим образом:

\[S_{\text{осн}} = 10^2 = 100.\]

Теперь перейдем к расчету площади боковой поверхности пирамиды. Для этого нам понадобится знать формулу для площади треугольника. В нашем случае, боковая поверхность пирамиды представляет собой четыре равнобедренных треугольника, так как длина боковых ребер пирамиды одинакова.

Площадь равнобедренного треугольника определяется формулой: \(S_{\text{тр}} = \dfrac{a \cdot h}{2}\), где \(a\) - длина основания треугольника (половина длины бокового ребра пирамиды), \(h\) - высота треугольника.

Высота равнобедренного треугольника может быть найдена с использованием теоремы Пифагора: \(h = \sqrt{c^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\), где \(c\) - длина бокового ребра пирамиды.

В нашем случае, длина боковых ребер пирамиды равна \(\sqrt{89}\), поэтому мы можем вычислить высоту треугольника:

\[h = \sqrt{(\sqrt{89})^2 - \left(\dfrac{\sqrt{89}}{2}\right)^2} = \sqrt{89 - \dfrac{89}{4}} = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 89}{4} - \dfrac{89}{4}} = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 89}{4}} = \dfrac{\sqrt{267}}{2}.\]

Теперь мы можем вычислить площадь каждого треугольника боковой поверхности пирамиды:

\[S_{\text{тр}} = \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{89}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{267}}{2}\right)}{2} = \dfrac{\sqrt{89 \cdot 267}}{8}.\]

Поскольку у нас есть четыре таких треугольника, общая площадь боковой поверхности равна:

\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{89 \cdot 267}}{8}\right) = \dfrac{4\sqrt{89 \cdot 267}}{8} = \dfrac{\sqrt{3 \cdot 267 \cdot 89}}{2} = \dfrac{\sqrt{71283}}{2}.\]

Теперь мы можем найти общую площадь поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[S = 100 + \dfrac{\sqrt{71283}}{2}.\]

Таким образом, площадь поверхности пирамиды PABCD с заданными параметрами равна \(100 + \dfrac{\sqrt{71283}}{2}\).