Каков радиус конуса, полученного путем сворачивания сектора, если его угол составляет 180° и радиус равен

Zolotoy_Klyuch

19

Для решения этой задачи, нам нужно использовать некоторые свойства конуса и передвигаться поэтапно.

Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть сектор, у которого угол составляет 180° и радиус \(r\). Мы сворачиваем этот сектор, чтобы получить конус. Наша задача - найти радиус этого конуса.

Шаг 2: Развертка сектора
Первая вещь, которую мы делаем, это разворачиваем сектор, чтобы он превратился в треугольник. Мы знаем, что длина окружности равна \(2\pi r\), и у нас есть половина окружности, поэтому длина дуги равна \(\pi r\). В нашем случае, поскольку угол равен 180°, разворачиваемая дуга составляет половину от окружности.


Шаг 3: Поиск длины стороны треугольника
Сейчас у нас есть полученная дуга как основание нашего треугольника. Нужно найти длину другой стороны треугольника. Мы знаем, что длина дуги, измеряемая в радианах, связана с радиусом \(r\) и длиной дуги \(l\) следующим образом:

\(\frac{l}{r} = \theta\),

где \(l\) - длина дуги, \(r\) - радиус, а \(\theta\) - измерение угла в радианах. Мы уже знаем, что длина нашей дуги равна \(\pi r\), а угол \(\theta\) равен 180° или \(\pi\) радиан. Подставим эти значения в наше уравнение:

\(\frac{\pi r}{r} = \pi\).

Шаг 4: Поиск длины основания треугольника
Теперь, чтобы найти длину стороны треугольника, используем теорему косинусов для прямоугольного треугольника:

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta)\),

где \(c\) - длина гипотенузы (основание треугольника), \(a\) и \(b\) - длины катетов (стороны треугольника) и \(\theta\) - угол между катетами.
В нашем случае, у нас есть длины катетов \(a = \pi r\) и \(b = r\), а угол \(\theta\) равен 180° или \(\pi\) радиан. Подставим эти значения в наше уравнение:

\(c^2 = (\pi r)^2 + r^2 - 2(\pi r)(r)\cos(\pi)\),
\(c^2 = \pi^2 r^2 + r^2 - 2\pi r^2(-1)\),
\(c^2 = \pi^2 r^2 + r^2 + 2\pi r^2\),
\(c^2 = (1 + \pi^2 + 2\pi)r^2\).

Шаг 5: Нахождение радиуса конуса
Теперь у нас есть длина основания (гипотенузы) нашего треугольника, которая связана с радиусом конуса. Если мы соединим вершины треугольника с вершиной конуса, мы получим радиус этого конуса. Радиус конуса будет равен половине длины основания (гипотенузы) треугольника. Поделим полученную формулу \(c^2 = (1 + \pi^2 + 2\pi)r^2\) на 2 и извлечем квадратный корень:

\(r^2 = \frac{c^2}{2(1 + \pi^2 + 2\pi)}\),
\(r = \sqrt{\frac{c^2}{2(1 + \pi^2 + 2\pi)}}\).

Теперь мы знаем радиус конуса, полученного путем сворачивания сектора с углом 180° и радиусом \(r\).

Обратите внимание, что в нашем ответе присутствует символ \(\pi\). В математике \(\pi\) используется для представления числа, равного примерно 3.14159, которое является математической константой. Если вам нужно приближенное числовое значение, вы можете использовать значение 3.14159 для расчетов.