Каков радиус круга, вписанного внутрь равностороннего треугольника, если площадь вписанного круга меньше площади круга

Vasilisa_9435

8

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства равностороннего треугольника и кругов.

Предположим, что сторона равностороннего треугольника равна \( a \), а радиус вписанного круга равен \( r \). Зная, что в равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, можем утверждать, что \( a = 2r \).

Теперь, площадь вписанного круга можно выразить следующим образом: \( S_{\text{вкр}} = \pi r^2 \), где \( S_{\text{вкр}} \) - площадь вписанного круга.

Аналогично, площадь описанного круга равна \( S_{\text{окр}} = \pi R^2 \), где \( S_{\text{окр}} \) - площадь описанного круга, а \( R \) - радиус описанного круга.

Мы знаем, что площадь вписанного круга меньше площади описанного круга на 12π квадратных сантиметров. То есть \( S_{\text{окр}} - S_{\text{вкр}} = 12\pi \).

Заменим выражения для площадей вписанного и описанного кругов:

\(\pi R^2 - \pi r^2 = 12\pi\)

Факторизуем общий множитель \(\pi\):

\(\pi (R^2 - r^2) = 12\pi\)

Сократим общий множитель \(\pi\):

\(R^2 - r^2 = 12\)

Так как у нас есть равенство \( a = 2r \), можем записать \( r = \frac{a}{2} \).

Теперь подставим значение \( r \) в наше выражение:

\(R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 12\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(R^2 - \frac{a^2}{4} = 12\)

Перенесем 12 на другую сторону уравнения:

\(R^2 = \frac{a^2}{4} + 12\)

Теперь заменим значение \( a \) на \( 2r \):

\(R^2 = \frac{(2r)^2}{4} + 12\)

Упростим выражение:

\(R^2 = \frac{4r^2}{4} + 12\)

\(R^2 = r^2 + 12\)

Таким образом, мы получили уравнение для радиуса описанного круга \( R \) через радиус вписанного круга \( r \).

Теперь найдем радиус описанного круга. Для этого возьмем формулу для вычисления площади равностороннего треугольника:

\( S_{\text{тр}} = \frac{\sqrt{3} \cdot a^2}{4} \)

Зная, что \( a = 2r \), можем записать формулу для площади треугольника через радиус вписанного круга:

\( S_{\text{тр}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (2r)^2}{4} \)

Упростим выражение:

\( S_{\text{тр}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4r^2}{4} \)

\( S_{\text{тр}} = \sqrt{3} \cdot r^2 \)

Так как площадь вписанного круга меньше площади описанного круга на 12π квадратных сантиметров, можем записать:

\( S_{\text{тр}} - S_{\text{вкр}} = 12\pi \)

Таким образом:

\( \sqrt{3} \cdot r^2 - \pi r^2 = 12\pi \)

Вынесем общий множитель \( r^2 \) из обоих частей уравнения:

\( r^2 (\sqrt{3} - \pi) = 12\pi \)

Поделим обе части уравнения на (\(\sqrt{3} - \pi\)):

\( r^2 = \frac{12\pi}{\sqrt{3} - \pi} \)

Теперь, найдя значение \( r^2 \), можем найти радиус вписанного круга \( r \) путем извлечения квадратного корня:

\( r = \sqrt{\frac{12\pi}{\sqrt{3} - \pi}} \)

Таким образом, радиус вписанного круга в равностороннем треугольнике будет равен \( \sqrt{\frac{12\pi}{\sqrt{3} - \pi}} \) сантиметров.