Каков радиус окружности, если через точку B, которая находится внутри этой окружности, проведена хорда, разделяющая

Zhanna

24

Давайте решим эту задачу с помощью геометрических рассуждений без использования теоремы Пифагора.

Пусть центр окружности обозначен буквой O, а точка пересечения хорды и окружности - точкой P. Нам дано, что отрезок AP равен 8 см, а отрезок BP равен 12 см. Также дано, что точка B находится на расстоянии 5 см от центра окружности O.

Давайте сначала нарисуем схематический рисунок, чтобы нагляднее представить себе данную ситуацию:

\[
\begin{array}{ccc}
& A & \\
& \uparrow & \\
8 \, \text{см} & | & 12 \, \text{см} \\
& | & \\
B & --------- & P \\
\end{array}
\]

Так как точка P является точкой пересечения хорды, то она является серединой отрезка AB. Это означает, что отрезки AP и BP равны между собой по длине. Таким образом, AP = BP = 8 см.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABP. Мы знаем, что точка B находится на расстоянии 5 см от центра окружности O. Значит, отрезок OB равен 5 см.

Обратим внимание на треугольник OBP. У него известны две стороны: OB = 5 см и BP = 8 см. Нам нужно найти третью сторону - радиус окружности OP.

Чтобы найти третью сторону треугольника, мы можем воспользоваться теоремой синусов. Данная теорема гласит:

\[
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
\]

где a, b и c - длины сторон треугольника, а A, B и C - соответствующие им углы.

В нашем случае у нас известны стороны a = 5 см и b = 8 см. Мы хотим найти сторону c, которая соответствует радиусу OP. Значит, у нас есть:

\[
\frac{5}{\sin(\angle OB{\hat O}P)} = \frac{8}{\sin(\angle BP{\hat O}P)} = \frac{c}{\sin(\angle OB{\hat P}B)}
\]

Обратим внимание на треугольник OBP. У него известны два угла OB{\hat O}P и BP{\hat O}P, так как они соответствуют углам, образованным сторонами, длина которых нам известна. Один из этих углов должен быть прямым углом, так как сторона OP - это радиус окружности, и она всегда является перпендикуляром к хорде, проведенной через точку пересечения.

Таким образом, уголы OB{\hat O}P и BP{\hat O}P - это прямые углы. Мы можем применить определение синуса прямого угла, который равен единице:

\[
\sin(\angle OB{\hat O}P) = 1, \quad \sin(\angle BP{\hat O}P) = 1
\]

Подставим эти значения обратно в теорему синусов:

\[
\frac{5}{1} = \frac{8}{1} = \frac{c}{\sin(\angle OB{\hat P}B)}
\]

Таким образом, мы можем заключить, что c, то есть радиус окружности OP, равен 5 см.

Итак, радиус окружности, если через точку B, которая находится внутри этой окружности, проведена хорда, разделяющая ее на отрезки длиной 8 см и 12 см, и точка B находится на расстоянии 5 см от ее центра, равен 5 см.