Каков радиус окружности, если длина отрезка касательной

Pylayuschiy_Drakon

65

Хорошо, давайте решим задачу о поиске радиуса окружности, если известна длина отрезка касательной.

Предположим, у нас есть окружность с радиусом \(R\) и точка \(A\) на этой окружности. Пусть \(T\) - точка касания отрезка касательной с окружностью. Поскольку отрезок касательной перпендикулярен радиусу, то отрезок \(AT\) является высотой равнобедренного треугольника.

Так как \(AT\) является высотой треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для поиска \(AT^2\). Представим равнобедренный треугольник с гипотенузой равной \(R\) и катетами равными \(AT\) на две половины, оба прямоугольных треугольника. Тогда, согласно теореме Пифагора, получим:

\[AT^2 = R^2 - (\frac{AB}{2})^2\]

Где \(AB\) - отрезок, являющийся основанием равнобедренного треугольника.

Поскольку отрезок \(AB\) является длиной касательной, мы знаем ее значение. Пусть \(l\) - длина отрезка касательной. Тогда:

\[AB = 2 \cdot l\]

Теперь мы можем заменить значение \(AB\) в предыдущем уравнении:

\[AT^2 = R^2 - (\frac{2l}{2})^2\]
\[AT^2 = R^2 - l^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(R\):

\[R^2 = AT^2 + l^2\]
\[R = \sqrt{AT^2 + l^2}\]

Таким образом, радиус окружности равен квадратному корню из суммы квадрата длины отрезка касательной и квадрата длины высоты треугольника.

Я надеюсь, что это объяснение было полезным и понятным для вас! Если у вас есть еще вопросы, с удовольствием отвечу на них.