Каков радиус окружности, если треугольник МКН вписан в нее, причем центр окружности лежит на стороне МК, а длины сторон

Пушок

15

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства треугольника, вписанного в окружность.

Первое свойство, которым мы воспользуемся, заключается в том, что угол, образованный дугой на окружности, в два раза больше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Второе свойство гласит, что биссектриса центрального угла треугольника, вписанного в окружность, проходит через центр окружности.

Итак, чтобы решить задачу, нам нужно найти радиус окружности. Для начала, обозначим радиус окружности как \(r\).

Мы знаем, что сторона МН равна 9 см и сторона НК равна 12 см. Так как центр окружности лежит на стороне МК, его расстояние от вершин треугольника М и К будет равно \(r\).

Теперь мы можем приступить к решению задачи. Раз мы знаем значения сторон МН и НК, то мы можем использовать теорему косинусов для нахождения угла МКН:

\[\cos(\angle МКН) = \frac{{МН^2 + НК^2 - МК^2}}{{2 \cdot МН \cdot НК}}\]
\[\cos(\angle МКН) = \frac{{9^2 + 12^2 - МК^2}}{{2 \cdot 9 \cdot 12}}\]

Вычисляя это выражение по шагам, получаем:

\[\cos(\angle МКН) = \frac{{225}}{{216}}\]
\[\angle МКН \approx 62.79^\circ\]

Так как треугольник МНК вписан в окружность, угол МКН равен углу, опирающемуся на дугу МН. Следовательно, угол МПН также равен \(62.79\) градусам.

Теперь мы можем воспользоваться свойством про биссектрису и находить биссектрису угла МПН:

\[\tan\left(\frac{{\angle МПН}}{{2}}\right) = \frac{{МК}}{{МН}}\]
\[\tan\left(\frac{{62.79^\circ}}{{2}}\right) = \frac{{МК}}{{9}}\]

Вычислив это выражение, получаем:

\[\tan\left(\frac{{31.395^\circ}}{{2}}\right) = \frac{{МК}}{{9}}\]
\[\tan\left(15.70^\circ\right) = \frac{{МК}}{{9}}\]
\[0.2863 = \frac{{МК}}{{9}}\]

Теперь мы можем найти длину стороны МК, подставив значения в уравнение:

\[0.2863 \cdot 9 = МК\]
\[\approx 2.577 = МК\]

Таким образом, расстояние от вершин М и К до центра окружности составляет примерно 2.577 см.

Но нам нужно найти радиус окружности, а не расстояние до центра. Для этого мы воспользуемся равенством МН = 9 см:

МК + КН = МН
2.577 + 12 = 9 + 12
МК = 9 + 12 - 2.577
МК = 18.423

Теперь, используя наши ранее полученные значения МК и растояние от вершин до центра, мы можем найти радиус окружности.

r = МК = 18.423

Таким образом, радиус окружности составляет примерно 18.423 см.