Каков радиус окружности, которая касается прямой, проведенной через точки A и B, в точке A, если длина отрезка AB равна

Лариса_9683

46

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся некоторыми геометрическими свойствами окружностей и треугольников.

Дано: Длина отрезка AB равна 45 см, а точка B находится на наименьшем расстоянии 5 см от окружности.

Первым шагом в нашем решении будет построение соответствующей диаграммы. Нарисуем прямую, проходящую через точки A и B. Отметим точки A и B на этой прямой. Затем построим окружность, касающуюся этой прямой в точке A.

Теперь приступим к решению. Пусть радиус окружности равен r.

Обратите внимание, что расстояние между центром окружности и точкой B должно быть равно r, так как точка B находится на наименьшем расстоянии от окружности.

Также можно заметить, что отрезок, соединяющий центр окружности и точку касания с прямой (отрезок AO на диаграмме), является перпендикуляром к прямой, проведенной через точки A и B.

Используем теперь свойства прямоугольного треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значения r.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату его гипотенузы. В нашем случае, длина катета AO равна r и катета BO равна 5 (расстояние от точки B до окружности).

Таким образом, мы имеем следующее уравнение:

\[r^2 + 5^2 = (r + 45)^2\]

Раскроем скобки в последнем уравнении и упростим его:

\[r^2 + 25 = r^2 + 90r + 2025\]

\[90r = 2025 - 25\]

\[90r = 2000\]

\[r = \frac{2000}{90}\]

Вычисляя это значение, мы получаем:

\[r = 22.22\]

Таким образом, радиус окружности, которая касается прямой в точке A и находится на расстоянии 5 см от точки B, равен примерно 22.22 см.