Каков радиус окружности, которая проходит через вершину, середину противоположной стороны и центр равностороннего

Mango

12

Чтобы найти радиус окружности, проходящей через вершину, середину противоположной стороны и центр равностороннего шестиугольника, вписанного в окружность радиусом, давайте разобьем эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Рассмотрим равносторонний шестиугольник, вписанный в окружность. У равностороннего шестиугольника все стороны и углы равны. Давайте обозначим сторону шестиугольника как \(a\).

Шаг 2: Чтобы найти длину стороны шестиугольника, воспользуемся свойством равностороннего треугольника. У равностороннего треугольника все стороны равны между собой. Так как центр равностороннего шестиугольника является центром окружности, радиус которой равен \(R\), то сторона шестиугольника равна длине окружности, которую охватывает этот шестиугольник. Длина окружности можно найти с помощью формулы \(C = 2\pi R\), где \(C\) - длина окружности, а \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14.

Шаг 3: Подставим известные значения в формулу для длины окружности: \(a = 2\pi R\).

Шаг 4: Теперь рассмотрим треугольник, образованный вершиной, серединой противоположной стороны и центром равностороннего шестиугольника. Давайте обозначим эту вершину треугольника как \(A\), середину противоположной стороны как \(B\) и центр шестиугольника как \(O\).

Шаг 5: Так как стороны шестиугольника равны между собой, то сторона, соединяющая центр шестиугольника и его вершину, будет иметь длину \(a\). Сторона, соединяющая центр шестиугольника и середину противоположной стороны, будет половиной длины стороны шестиугольника, то есть \(\frac{a}{2}\).

Шаг 6: Мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику \(ABO\) для нахождения радиуса окружности. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенузой будет являться радиус окружности, а катетами - стороны треугольника. Поэтому:

\[
R^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2
\]

Шаг 7: Разрешим эту уравнение для \(R\).

\[
R^2 = \frac{a^2}{4} + a^2
\]

\[
R^2 = \frac{5a^2}{4}
\]

\[
R = \sqrt{\frac{5a^2}{4}}
\]

Шаг 8: Подставим значение \(a\) с помощью формулы для длины окружности, которую мы вывели ранее.

\[
R = \sqrt{\frac{5\left(2\pi R\right)^2}{4}}
\]

Шаг 9: Решим это уравнение для \(R\).

\[
R = \sqrt{\frac{20\pi^2 R^2}{4}}
\]

\[
R = \sqrt{5\pi^2 R^2}
\]

\[
R = \sqrt{5}\pi R
\]

\[
1 = \sqrt{5}\pi
\]

\[
R = \frac{1}{\sqrt{5}\pi}
\]

Таким образом, радиус окружности составляет \(\frac{1}{\sqrt{5}\pi}\).