Каков радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник, если высота, проведенная к основанию, составляет

Taras

44

Для начала, давайте разберемся с основными свойствами вписанной окружности в равнобедренном треугольнике. Если у нас есть равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC, и окружность касается сторон BC, AB и AC в точках D, E и F соответственно, то AD будет медианой треугольника и проведенной из вершины A. Медиана AD каждый раз делит сторону BC пополам. Обозначим точку касания окружности со стороной BC как G.

Поскольку AD является медианой треугольника ABC, то точка D делит сторону BC пополам. Это означает, что BG = GC.

Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник BGD (поскольку BG = GC и AD - медиана, можно сказать, что AG является высотой треугольника ABC).

Теперь, давайте выпишем соотношения длин основания и боковой стороны. У нас дано, что соотношение длины основания (BC) к боковой стороне (AB или AC) равно 6:11. Давайте представим длину основания как 6x и боковую сторону как 11x.

Возвращаясь к треугольнику BGD, мы можем применить теорему Пифагора:
\[BD^2 = BG^2 + GD^2\]

Также, мы можем использовать свойство тангенсов в прямоугольном треугольнике BGD:
\[\tan\left(\frac{{\angle BGD}}{2}\right) = \frac{{BG}}{{GD}}\]

Поскольку BD является медианой треугольника ABC, мы можем записать:
\[BD = \frac{{BC}}{{2}} = 3x\]

Теперь, давайте найдем значение GD. Мы знаем, что высота треугольника AD равна 42 см, а высота AG является медианой и делит сторону BC пополам. Значит, GD будет равен половине высоты треугольника AD.
\[GD = \frac{{AD}}{{2}} = \frac{{42}}{{2}} = 21\ см\]

Теперь, мы можем записать уравнение с использованием найденных значений:
\[BD^2 = BG^2 + GD^2\]
\[(3x)^2 = BG^2 + (21\ см)^2\]
\[9x^2 = BG^2 + 441\ см^2\]

Также, используя свойство тангенсов, мы можем записать уравнение:
\[\tan\left(\frac{{\angle BGD}}{2}\right) = \frac{{BG}}{{GD}}\]

Теперь, когда мы знаем основные уравнения, давайте решим их.