Каков радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, если радиус вписанной окружности равен 12

Скорпион_6713

57

Чтобы найти радиус \(R\) окружности, описанной около правильного многоугольника, имея радиус \(r\) вписанной окружности и длину \(s\) одной из его сторон, мы можем воспользоваться формулой:

\[R = \frac{r}{\cos(\frac{\pi}{n})}\]

где \(n\) - количество сторон многоугольника.

В данной задаче нам известно, что радиус вписанной окружности \(r\) равен 12 см и длина стороны многоугольника \(s\) равна \(8\sqrt{3}\) см.

Для начала, давайте найдем количество сторон многоугольника \(n\). Для этого мы можем воспользоваться формулой:

\[s = 2r\sin(\frac{\pi}{n})\]

Подставим известные значения:

\[8\sqrt{3} = 2 \cdot 12 \cdot \sin(\frac{\pi}{n})\]

Разделим обе части уравнения на 24:

\[\sqrt{3} = \sin(\frac{\pi}{n})\]

Так как \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), то можно сделать предположение, что \(\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6}\), или \(n = 6\).

Теперь, когда мы знаем количество сторон многоугольника, мы можем найти радиус окружности, описанной около него:

\[R = \frac{r}{\cos(\frac{\pi}{n})} = \frac{12}{\cos(\frac{\pi}{6})} = 12 \cdot 2 = 24\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около многоугольника равен 24 см, а количество сторон многоугольника равно 6.