Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника со стороной равной 6 и прилежащими углами 35° и 115°?

Druzhok

46

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства треугольников, а также тригонометрические функции.

Давайте начнем с построения треугольника для лучшего понимания. У нас есть треугольник со стороной, равной 6 и прилежащими углами 35° и 115°.

1. Построение треугольника:
- Начнем с построения отрезка AB длиной 6 единиц.
- В точке A отложим угол CАD равным 35°.
- Затем, с помощью откладывания угла DAE равного 115°, получим точку E.
- Соединим точку E с точками A и B, получив треугольник ABC.

Теперь, когда у нас есть треугольник, мы можем приступить к нахождению радиуса окружности, описанной вокруг него.

2. Нахождение центра окружности:
- Так как окружность описана вокруг треугольника, ее центр будет находиться на перпендикулярах, проведенных через середины сторон треугольника (теорема о центре окружности, описанной вокруг треугольника).
- Проведем перпендикуляры BM и AN к стороне BC и AC соответственно.
- Поскольку треугольник ABC — неравнобедренный, пересечение перпендикуляров дают точку O — центр окружности.

3. Нахождение радиуса окружности:
- Заметим, что треугольник AOC является прямоугольным, так как угол AOC равен 90° (угол на диаметре окружности).
- Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов, поэтому:
AC = AO + OC
- Далее, воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны треугольника AC:
AC² = AO² + OC² - 2(AO)(OC)cos(35°)
- Затем, мы можем найти радиус окружности по формуле:
R = AC / 2

Как только мы вычислим значение радиуса, ответ на задачу будет полностью найден. Необходимо только выполнить несколько вычислений, чтобы получить точный результат.

Однако, чтобы продемонстрировать пошаговое решение, проведем все необходимые вычисления:

1. Находим сторону AC:
AC² = AO² + OC² - 2(AO)(OC)cos(35°)
Так как AO = OC (в радиусе окружности), заменим AO и OC на R:
AC² = R² + R² - 2(R)(R)cos(35°)
AC² = 2R² - 2R²cos(35°)
AC² = 2R²(1 - cos(35°))

2. Находим радиус R:
R = AC / 2
Подставляем значение AC²:
R = √(2R²(1 - cos(35°))) / 2
R = √(2R²(1 - cos(35°))) / √2
R = √(R²(1 - cos(35°))) / √2
R = R√(1 - cos(35°)) / √2

Таким образом, мы нашли радиус окружности, описанной вокруг треугольника при заданных условиях. Важно отметить, что для получения конкретного числового ответа, требуется использовать значения функций тригонометрии, такие как cos(35°). Если потребуется числовое значение радиуса, пожалуйста, уточните это вопросом.