Каков радиус окружности, прикасающейся к сторонам прямого угла, если наименьшее расстояние от вершины угла

Маркиз

62

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство касательной, которое гласит, что касательная к окружности проведена из точки касания, будет перпендикулярна радиусу, проведённому из центра окружности до этой точки.

Пусть \( O \) - центр окружности, а \( R \) - радиус этой окружности. Также представим, что точка касания окружности с одной из сторон прямого угла называется \( A \), а вершина угла - \( B \). Наименьшее расстояние от вершины угла до окружности является радиусом окружности.

Мы знаем, что радиус, проведённый из центра окружности \( O \) до точки касания \( A \), будет перпендикулярен стороне прямого угла. Таким образом, получаем прямоугольный треугольник \( BAO \) с прямым углом в точке \( A \).

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим следующее:

\[ AB^2 + AO^2 = OB^2 \]

Так как мы ищем радиус окружности \( R \), который является расстоянием от центра окружности \( O \) до точки касания \( A \), то у нас есть равенство:

\[ AB = AO = R \]

Подставляем это значение и упрощаем уравнение:

\[ R^2 + R^2 = OB^2 \]
\[ 2R^2 = OB^2 \]
\[ OB = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} \]

Таким образом, наименьшее расстояние от вершины прямого угла до окружности составляет \( R\sqrt{2} \). Следовательно, радиус этой окружности равен \( R\sqrt{2} \).