Каков радиус орбиты космического корабля массой 5*10^7 кг, который движется по круговой орбите вокруг Земли

Vechnyy_Moroz_1405

21

Нам дана масса космического корабля \(m = 5 \times 10^7\) кг и его кинетическая энергия \(E = 3,34 \times 10\) (единицы энергии не указаны), и мы должны найти радиус орбиты \(r\) этого корабля вокруг Земли.

Для начала, давайте воспользуемся формулой для кинетической энергии объекта вращения:

\[E = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(v\) - скорость объекта.

Так как корабль движется по круговой орбите, его скорость будет постоянной и связана с радиусом орбиты следующим образом:

\[v = \frac{{2 \pi r}}{{T}}\]

где \(T\) - период обращения космического корабля по орбите.

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для кинетической энергии:

\[E = \frac{1}{2} m \left(\frac{{2 \pi r}}{{T}}\right)^2\]

Чтобы сократить вычисления и упростить формулу, давайте заменим \(2 \pi\) на букву \(C\):

\[E = \frac{1}{2} m \left(\frac{{C r}}{{T}}\right)^2\]

Теперь нам необходимо выразить период обращения \(T\) через радиус орбиты \(r\). Мы знаем, что период обращения связан с радиусом орбиты следующим образом:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{{r^3}}{{G M}}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли.

Подставим это выражение для \(T\) в формулу для кинетической энергии:

\[E = \frac{1}{2} m \left(\frac{{C r}}{{2 \pi \sqrt{\frac{{r^3}}{{G M}}}}}}\right)^2\]

Теперь, давайте проведем некоторые упрощения:

\[E = \frac{1}{2} m \left(\frac{{C r}}{{2 \pi}}\right)^2 \cdot \left(\frac{{2 \pi \sqrt{\frac{{r}}{3}}}}{{\sqrt{{G M}}}}\right)^2\]

Упростив дальше, получаем:

\[E = \frac{1}{2} m \cdot \frac{{C^2 r^2}}{{4 \pi^2}} \cdot \frac{{4 \pi^2 r}}{{G M}}\]

Еще больше сокращаем:

\[E = \frac{{C^2 m r^3}}{{2 G M}}\]

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение относительно \(r\):

\[3,34 \times 10 = \frac{{C^2(5 \times 10^7) r^3}}{{2 \cdot 6,674 \times 10^{-11} \cdot 5,972 \times 10^{24}}}\]

Теперь решим это уравнение и найдем значение радиуса орбиты \(r\).